Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Görseldeki soruyu dikkatlice inceledik. Şimdi adım adım çözümümüzü gerçekleştirelim.

Verilenler ve İstenen

Görselde yer alan 1 numaralı soruda bize şunlar verilmiştir:

• $f$ fonksiyonu tam sayılar kümesi üzerinde tanımlıdır ve kuralı şu şekildedir:

$$f(x) = a \cdot x + a + 1$$

• $f$ fonksiyonu bire bir ve örtendir.
• Fonksiyonun kendisi ile tersinin çarpımı şu denklemi sağlamaktadır:

$$f(x) \cdot f^{-1}(x) = a + 4$$

İstenen: Bu eşitliği sağlayan $x$ değerlerinin çarpımı kaçtır? (Seçenekler: A) $-27$, B) $-9$, C) $0$, D) $9$, E) $27$)

Adım Adım Çözüm

Adım 1: $f$ fonksiyonunun tersini ($f^{-1}(x)$) bulmak

$f(x) = y$ olsun:
$$y = a \cdot x + a + 1$$

Bu denklemde $x$'i yalnız bırakarak ters fonksiyonu elde edelim:
$$y - a - 1 = a \cdot x$$
$$x = \frac{y - a - 1}{a}$$

Buradan $f$ fonksiyonunun tersi şu şekilde bulunur:
$$f^{-1}(x) = \frac{x - a - 1}{a}$$

Adım 2: Verilen denklemi kurmak ve düzenlemek

Soruda verilen $f(x) \cdot f^{-1}(x) = a + 4$ eşitliğinde bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım:
$$(a \cdot x + a + 1) \cdot \left(\frac{x - a - 1}{a}\right) = a + 4$$

Pay kısmındaki terimleri çarparsak:
$$\frac{(ax + a + 1)(x - (a + 1))}{a} = a + 4$$

Burada $(a+1)$ ifadesine $t$ dersek işlem kolaylığı sağlarız ancak doğrudan açarak da devam edebiliriz:
$$(ax + a + 1)(x - a - 1) = a(a + 4)$$

Sol taraftaki çarpımı yapalım:
$$ax(x - a - 1) + (a + 1)(x - a - 1) = a^2 + 4a$$
$$ax^2 - a^2x - ax + (a+1)x - (a+1)^2 = a^2 + 4a$$

Benzer terimleri bir araya getirelim:
$$ax^2 + (-a^2 - a + a + 1)x - (a+1)^2 = a^2 + 4a$$
$$ax^2 + (1 - a^2)x - (a^2 + 2a + 1) = a^2 + 4a$$

Tüm terimleri sol tarafa toplayalım:
$$ax^2 + (1 - a^2)x - 2a^2 - 6a - 1 = 0$$

Adım 3: $a$ değerini bulmak

Sorunun başında $f$ fonksiyonunun tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı olduğu ve bire bir ve örten olduğu belirtilmiştir. Bir doğrusal fonksiyonun tam sayılardan tam sayılara bire bir ve örten olabilmesi için $x$'in katsayısı olan $a$ değerinin $1$ veya $-1$ olması gerekir (çünkü eğim 1 veya -1 olmalıdır).

1. Durum: $a = 1$ olsaydı:

$f(x) = 1 \cdot x + 1 + 1 = x + 2$ olurdu. Tam sayılarda tanımlı ve örtendir.
Denklemde $a = 1$ yazalım:
$$1 \cdot x^2 + (1 - 1^2)x - 2(1)^2 - 6(1) - 1 = 0$$
$$x^2 - 2 - 6 - 1 = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ veya } x = -3$$
Bu durumda $x$ değerlerinin çarpımı $3 \cdot (-3) = -9$ olur. Şıklarda $-9$ seçeneği (B şıkkı) mevcuttur.

1. Durum: $a = -1$ olsaydı:

$f(x) = -1 \cdot x + (-1) + 1 = -x$ olurdu.
Denklemde $a = -1$ yazalım:
$$-1 \cdot x^2 + (1 - (-1)^2)x - 2(-1)^2 - 6(-1) - 1 = 0$$
$$-x^2 - 2 + 6 - 1 = 0 \implies -x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 3$$
Ancak $x$ değerlerinin tam sayı olması gerektiği (veya $x^2 = 3$ için tam sayı kök gelmediği) göz önüne alındığında bu durum geçerli olmaz ya da sorunun kurgusuna uymaz. Ayrıca $a=1$ için elde edilen $-9$ sonucu şıklarda doğrudan yer almaktadır.

Cevap: B