Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak sorunuzu memnuniyetle çözelim.

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• $K$ gezegeninin yarıçapı $R_K = 2R$, kütlesi $M_K = 2M$'dir.
• $L$ gezegeninin yarıçapı $R_L = R$, kütlesi $M_L = M$'dir.
• $X$ cismi $K$ gezegeninin yüzeyinde, $Y$ cismi $L$ gezegeninin yüzeyindedir.
• Gezegenlerin yüzeylerindeki yer çekimi ivmesi genel formülü:

$$g = G \frac{M}{R^2}$$

İstenen:
Verilen üç öncülden hangilerinin doğru olduğunun belirlenmesi.

Adım Adım Çözüm

1. Gezegenlerin Yüzeyindeki Yer Çekimi İvmelerinin Hesaplanması

Öncelikle $K$ ve $L$ gezegenlerinin yüzeyindeki yer çekimi ivmelerini bulalım:

• $K$ gezegeni için:

$$g_K = G \frac{2M}{(2R)^2} = G \frac{2M}{4R^2} = \frac{1}{2} \left( G \frac{M}{R^2} \right)$$
Eğer $G \frac{M}{R^2} = g$ dersek, $g_K = \frac{1}{2}g$ (veya görselde basitleştirilmiş haliyle $g$) olur.

• $L$ gezegeni için:

$$g_L = G \frac{M}{R^2} = 2 \left( G \frac{M}{R^2} \right) \text{ oranla karşılaştırırsak,}$$$$g_L = 2g_K$$
(Yani $L$ gezegeninin yüzeyindeki yer çekimi ivmesi, $K$ gezegeninunkinin 2 katıdır.)

2. Öncüllerin İncelemesi

I. Öncül:

"K gezegeninin yüzeyinde bulunan X cismi ile L gezegeninin yüzeyinde bulunan Y cisminin ağırlıkları eşit ise, Y cisminin kütlesi X'in kütlesinden büyüktür."

Cisimlerin ağırlıkları $G = m \cdot g$ bağıntısıyla bulunur.

• $G_X = m_X \cdot g_K$
• $G_Y = m_Y \cdot g_L$

Ağırlıklar eşit verildiğine göre ($G_X = G_Y$):
$$m_X \cdot g_K = m_Y \cdot g_L$$

$g_L = 2g_K$ olduğunu biliyoruz. Yerine koyarsak:
$$m_X \cdot g_K = m_Y \cdot (2g_K) \implies m_X = 2m_Y$$

Bu durumda $m_X > m_Y$ olur. Yani $X$ cisminin kütlesi $Y$ cismininkinden büyüktür. Öncülde ise "Y cisminin kütlesi X'in kütlesinden büyüktür" denildiği için bu öncül yanlıştır.

II. Öncül:

"X ve Y cisimleri bulundukları gezegen yüzeylerinden $h$ kadar yükseklikten serbest bırakılırsa, Y'nin yere çarpma hızı, X'in yere çarpma hızından büyük olur."

Serbest düşme yapan cisim için enerji korunumundan veya hareket denklemlerinden hız bağıntısı:
$$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m \cdot v^2 \implies v^2 = 2 \cdot g \cdot h$$

$h$ yükseklikleri eşit verilmiştir.

• $L$ gezegenindeki yer çekimi ivmesi $K$ gezegenininkinden büyük olduğundan ($g_L > g_K$):

$$v_Y > v_X$$
olur. Bu durumda Y'nin yere çarpma hızı X'inkinden büyüktür. Bu öncül doğrudur.

III. Öncül:

"Bulundukları gezegen yüzeylerinden düşey doğrultuda yukarı yönde eşit büyüklükte hızlarla fırlatılan cisimlerden X'in çıkabileceği maksimum yükseklik Y'ninkinden büyük olur."

Cisimlerin yukarı düşey atış hareketinde çıkabilecekleri maksimum yükseklik ($h_{\text{max}}$) formülü:
$$h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}$$

$v_0$ (ilk hızlar) eşit verilmiştir. İvmesi küçük olan gezegende cisim daha yüksek çıkacaktır ($g$ ile $h_{\text{max}}i$ ters orantılıdır).

• $g_K < g_L$ olduğundan, $K$ gezegenindeki $X$ cisminin çıkabileceği maksimum yükseklik ($h_X$), $L$ gezegenindeki $Y$ cismininkinden ($h_Y$) büyük olur ($h_X > h_Y$).

Bu öncül doğrudur.

Cevap anahtarına göre doğru öncüller II ve III'tür.

Cevap: E) II ve III