Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve görseli dikkatlice inceledim. Adım adım çözümümüze geçelim.

Verilenler ve İstenen

• Sistem: Bir ucundan yere sabitlenmiş, ağırlığı önemsiz düşey bir yay ve ucuna bağlı $m$ kütleli bir cisim.
• Başlangıç Durumu: Cisim başlangıçta ($v = 0$ konumunda, en üst seviyede) serbest bırakılıyor ve bu anda yay serbest hâldedir (yani başlangıçta sıkışma veya gerilme yok, yay boyu doğal boyundadır).
• Seviyeler Arası Mesafe: Görseldeki kesikli çizgilerle belirtilen aralıkların her birinin boyu eşit olup $x$ kadardır.
• Başlangıç seviyesi ile K seviyesi arası: $x$
• K seviyesi ile L seviyesi arası: $x$
• L seviyesi ile M seviyesi arası: $x$
• İvmeler:
• K seviyesinden geçerken anlık ivmenin büyüklüğü: $3a$
• L seviyesinden geçerken anlık ivmenin büyüklüğü: $2a$
• İstenen: Cismin M seviyesinden geçerken anlık ivmesinin büyüklüğü kaç $a$'dır?

Adım Adım Çözüm

1. Kuvvet ve İvme Bağıntısının Kurulması
Cisim düşey doğrultuda hareket etmektedir. Cisme etki eden kuvvetler:

• Aşağı yönlü yer çekimi kuvveti: $G = mg$
• YAY kuvveti ($F_{\text{yay}}$): Yay serbest hâlden itibaren $x$ kadar sıkıştırıldığında veya uzatıldığında Hooke Kanunu'na göre büyüklüğü $F_{\text{yay}} = k \cdot (\text{sıkışma miktarı})$ olur. Burada cisim aşağı doğru hareket ettiği için yay sıkışmaktadır.

Herhangi bir $y$ anlık sıkışma miktarında cisme etki eden net kuvvet (aşağı yönü pozitif kabul edelim):
$$F_{\text{net}} = mg - F_{\text{yay}} = mg - k \cdot y$$

Newton'ın İkinci Yasası ($F_{\text{net}} = m \cdot a$) gereği ivme:
$$a = \frac{mg - k \cdot y}{m} = g - \frac{k}{m}y$$

2. K ve L Seviyelerindeki Sıkışma Miktarlarının Belirlenmesi

• Başlangıçta ($v = 0$): $y_0 = 0$
• K Seviyesi: Başlangıçtan K'ye kadar mesafe $x$ kadardır. Dolayısıyla yaydaki sıkışma $y_K = x$ olur.

K seviyesindeki ivme:
$$3a = g - \frac{k}{m}x \quad \text{--- (1. Denklem)}$$

• L Seviyesi: Başlangıçtan L'ye kadar toplam mesafe $x + x = 2x$ kadardır. Dolayısıyla yaydaki sıkışma $y_L = 2x$ olur.

L seviyesindeki ivme:
$$2a = g - \frac{k}{m}(2x) \quad \text{--- (2. Denklem)}$$

3. $g$ ve $\frac{k}{m}x$ Değerlerinin Bulunması
(1) ve (2) numaralı denklemleri taraf tarafa çözelim:

1. denklemden:

$$g = 3a + \frac{k}{m}x$$

Bu ifadeyi 2. denklemde yerine yazalım:
$$2a = \left(3a + \frac{k}{m}x\right) - 2\left(\frac{k}{m}x\right)$$
$$2a = 3a - \frac{k}{m}x$$
$$\frac{k}{m}x = a$$

Bulduğumuz bu değeri $g$ denkleminde yerine koyalım:
$$g = 3a + a = 4a$$

4. M Seviyesindeki İvmenin Hesaplanması

• M Seviyesi: Başlangıçtan M'ye kadar toplam mesafe $x + x + x = 3x$ kadardır. Dolayısıyla yaydaki sıkışma $y_M = 3x$ olur.

M seviyesindeki ivme formülü:
$$a_M = g - \frac{k}{m}(3x)$$

Bulduğumuz $g = 4a$ ve $\frac{k}{m}x = a$ değerlerini yerine yazalım:
$$a_M = 4a - 3\left(\frac{k}{m}x\right)$$
$$a_M = 4a - 3(a) = a$$

Cevap

Cismin M seviyesinden geçerken anlık ivmesinin büyüklüğü 1'dir (yani $a$ kadardır).

Cevap: C