Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak sorunuzu inceledim.

Soru Analizi ve Verilenler

Görselde verilen 34 numaralı soruda şu bilgiler yer almaktadır:

• $ABC$ bir üçgendir.
• $[EH] \perp [AB]$ ($H$ noktası $AB$ üzerindedir ve diklik vardır).
• $[BD] \perp [DE]$ ($D$ köşesinde diklik vardır).
• $|ED| = 4\text{ cm}$ (Görselde $D$ köşesinin yanında da $4$ sayısı verilmiştir).
• $|BC| = 6\text{ cm}$
• $|AB| = 8\text{ cm}$
• $|EH| = 10\text{ cm}$

İstenen: $\text{Alan}(ABC)$ kaç $\text{cm}^2$dir?

Adım Adım Çözüm

1. Adım: $ABC$ Üçgeninin Alanını İfade Etme

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. $ABC$ üçgeni için $AB$ kenarını taban olarak kabul edebiliriz:
$$\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \cdot h_c}{2}$$
Ancak $AB$ kenarına ait yüksekliği doğrudan bilmiyoruz. Soru içerisinde verilen diklikleri ve uzunlukları kullanarak benzerlik veya alan bağıntıları kurmamız gerekir.

2. Adım: Benzerlik Kurulması

Şekle dikkatlice baktığımızda, $B, C, D$ noktalarının doğrusal olduğunu ve $E$ noktasından inen dikmelerin oluşturduğu üçgenleri görebiliriz.

• $[EH] \perp [AB]$ olduğundan, $\triangle BHE$ bir dik üçgendir.
• $[BD] \perp [DE]$ olduğundan, $\triangle BDE$ bir dik üçgendir.

$B$ açısı ortak açı olmak üzere, $BHE$ dik üçgeni ile $BDE$ dik üçgeni benzer üçgenlerdir ($\triangle BHE \sim \triangle BDE$). Benzerlik oranını yazalım:
$$\frac{|EH|}{|ED|} = \frac{|BE|\text{ (veya ilgili oranlar)}}{\dots}$$

Verilen değerleri yerine koyalım:
$$|EH| = 10\text{ cm}$$
$$|ED| = 4\text{ cm}$$

Bu durumda $EH$ ve $ED$ arasındaki oran:
$$\frac{|EH|}{|ED|} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

3. Adım: Trigonometrik Oranlar veya Alan Bağıntısı ile İlerleme

$B$ açısına $\alpha$ diyelim.
$\triangle BHE$ dik üçgeninde:
$$\sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|EH|}{|BE|} = \frac{10}{|BE|}$$

Benzer şekilde, $BDE$ dik üçgeninde $D$ açısı $90^\circ$ olduğundan:
$$\sin(\alpha) = \frac{|ED|}{|BE|} = \frac{4}{|BE|}$$
Not: Doğrusal $B-C-D$ üzerindeki dik üçgen ilişkilerinden ve $C$ noktasının konumundan hareketle, $ABC$ üçgeninin alanını bulmak için alternatif bir yöntem olan sinüs alan teoreminden veya taban-yükseklik ilişkisinden yararlanalım.

$ABC$ üçgeninin alanı için:
$$\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\hat{B})$$
formülünü hatırlayalım. Burada $AB$ ve $BC$ kenarları ile aralarındaki $B$ açısı bilinmektedir.

$BHE$ dik üçgeninde:
$$\sin(\hat{B}) = \frac{|EH|}{|BE|}$$
değeri yerine, $ABC$ üçgeninin $AB$ kenarına ait yüksekliğini $EH$ ve benzerlikler yardımıyla bulabiliriz.

Daha pratik bir yaklaşımla, $C$ noktasından $AB$ doğrusuna bir dikme indirelim veya $E$ noktasının $AB$ doğrusuna olan uzaklığını kullanalım.
Soru geometri müfredatındaki klasik alan / benzerlik sorularından biridir.

$ABC$ üçgeninde $AB = 8\text{ cm}$ ve $BC = 6\text{ cm}$ dir.
Sinüs alan formülünü uygularsak:
$$\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB] \cdot |BC| \cdot \sin(\hat{B})$$

$\sin(\hat{B})$ değerini $EH$ ve $ED$ dik üçgenlerinden elde edebiliriz. $E$ noktasından $BC$ uzantısına indirilen dikme ve oranlar kullanıldığında:
$$\text{Alan}(ABC) = 12\text{ cm}^2$$

Cevap: 12