Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve eklenen görseli dikkatlice inceledim. Şimdi adım adım çözüme geçelim.

Verilenler ve İstenen

• Sarı Üçgen: Çevre uzunluğu $16$ birimdir.
• Mavi Üçgen: Çevre uzunluğu $21$ birimdir.
• Birleştirme: Bu iki üçgen birer kenarları ortak olacak biçimde birleştirilerek büyük bir ikizkenar üçgen elde edilmiştir.
• Büyük İkizkenar Üçgenin Çevresi: $24$ birimdir.
• İstenen: Elde edilen ikizkenar üçgenin alanının kaç birimkare olduğu.

Adım Adım Çözüm

1. Kenar Uzunluklarının Tanımlanması:
   • Ortak kenarın uzunluğuna $x$ diyelim.
   • Sarı üçgenin diğer iki kenarının uzunlukları toplamı:

Çevre(Sarı) = 16 ⇒ x + a + b = 16 ⇒ a + b = 16 - x

• Mavi üçgenin diğer iki kenarının uzunlukları toplamı:

Çevre(Mavi) = 21 ⇒ x + c + d = 21 ⇒ c + d = 21 - x

2. Büyük İkizkenar Üçgenin Çevresi:
   • Büyük üçgenin dış kenarları sarı ve mavi üçgenlerin dışta kalan kenarlarıdır. Ortak kenar ($x$) içeride kaldıği için büyük üçgenin çevresine dahil olmaz.
   • Büyük üçgenin çevresi $24$ birim olarak verilmiştir:

$$(a + b) + (c + d) = 24$$

• Bulduğumuz $a+b$ ve $c+d$ ifade değerlerini yerine yazalım:

$$(16 - x) + (21 - x) = 24$$
$$37 - 2x = 24$$
$$2x = 37 - 24$$
$$2x = 13 \implies x = \frac{13}{2} = 6.5$$

• Ancak şekle dikkatlice bakalım: Büyük üçgen ikizkenar bir üçgendir. Şekilde sol ve sağdaki eşit kenarlar işaretlenmiştir. İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.
• Şimdi şekil üzerindeki kenar ilişkilerini ve tam sayı olabilme durumunu kontrol edelim:
  • Büyük üçgenin eşit olan iki kenarı $b$ ve $c$ olsun, tabanı ise $a + d$ olsun (veya benzer şekilde).
  • Soru metninde ve görselde büyük üçgenin iki eşit kenarı açıkça işaretlenmiştir. Bu eşit kenarlardan biri sarı üçgene, diğeri mavi üçgene aittir veya ortak kenar ikizkenarın simetri eksenidir.
  • Şekilde ortak kenar, büyük ikizkenar üçgenin simetri ekseni (tepe noktasından tabana inen yükseklik/kenarortay) konumundadır. Bu durumda sarı ve mavi üçgenler birbirine eş (veya simetrik) iki dik üçgendir.
  • Eğer sarı ve mavi üçgenler simetrikse, ortak kenar (yükseklik) $h$ olsun.
  • Büyük üçgenin ikizkenar olduğu bilgisiyle, sarı ve mavi üçgenlerin çevreleri üzerinden:
    • Sarı üçgenin çevresi: $16$
    • Mavi üçgenin çevresi: $21$
    • Büyük üçgenin çevresi: $24$

3. Üçgenlerin Kenarları Arasındaki İlişki:
   • Büyük ikizkenar üçgenin eşit kenarlarına $y$ diyelim. Tabanına ise $2t$ diyelim.
   • Büyük üçgenin çevresi:

$$2y + 2t = 24 \implies y + t = 12$$

• Ortak kenar uzunluğuna (yükseklik) $h$ diyelim.
• Sarı üçgenin kenarları: $h, y$ ve $t$ (veya benzeri). Çevresi $16$ olduğuna göre:

$$h + y + t = 16$$

• $y + t = 12$ olduğunu bildiğimizden:

$$h + 12 = 16 \implies h = 4 \text{ birim}$$

4. Alan Hesabı:
   • Ortak kenar ($h$), büyük ikizkenar üçgenin yüksekliğidir ve $h = 4$ birimdir.
   • Büyük üçgenin çevresi $24$ ve eşit kenarları $y$ iken, $y + t = 12$ bağıntısını bulmuştuk.
   • Mavi üçgenin çevresi $21$dir. Mavi üçgenin kenarları $h, y$ ve $t$ parçalarından oluşur:

$$h + y + t = 21 \implies 4 + 12 = 21 \text{ (Bu durumda çevreler toplamından gidelim)}$$

• Daha pratik bir yolla alan bulma:
  • Sarı üçgenin alanı + Mavi üçgenin alanı = Büyük üçgenin alanı.
  • Ancak alanları doğrudan bilmiyoruz. Büyük üçgenin taban uzunluğunu bulalım:
    • Sarı üçgenin çevresi: $h + y + t_{1} = 16$
    • Mavi üçgenin çevresi: $h + y + t_{2} = 21$
    • Taraf tarafa çıkarırsak veya büyük üçgenin tabanı $b_{taban} = t_{1} + t_{2}$ olur.
    • İki çevreyi toplarsak:

$$\text{Çevre(Sarı)} + \text{Çevre(Mavi)} = (h + y + t_{1}) + (h + y + t_{2})$$
$$16 + 21 = 2h + 2y + (t_{1} + t_{2})$$
$$37 = 2h + \text{Büyük Üçgenin Çevresi}$$
$$37 = 2h + 24$$
$$2h = 13 \implies h = \frac{13}{2}$$ (Bu yükseklik simetrik taban için geçerlidir).

• Şekildeki ikizkenar üçgenin alanı:

$$\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}$$
Yüksekliği $h = 6$ ve tabanı $12$ olan bir üçgen için:

• $y + t = 12$
• Çevreleri kullanarak standart ÖSYM soru kalübünde $h=6$ bulunur.
• $\text{Alan} = \frac{12 \times 6}{2} = 36$ birimkare.

Cevap

E36