Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak sorunuzu inceledim.

Verilenler ve İstenen

Görseldeki metin ve şekil üzerinden verilenler:

• $ABC$ bir dik üçgendir ($\widehat{ABC} = 90^\circ$).
• $G$ noktası $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezidir.
• $|AG| = 2\sqrt{7}$ cm
• $|GC| = 4\sqrt{2}$ cm
• Üçgenin kenarları üzerinde bazı oranlamalar ve ek çizimler (köşeden kenar ortalarına giden doğrular vb.) gösterilmiştir.

İstenen:

• $|AC|$ uzunluğunun kaç cm olduğu.

Adım Adım Çözüm

Adım 1: Ağırlık merkezinin özellikleri ve kenarortay bağıntıları
$G$, $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan, $C$ köşesinden ve $A$ köşesinden gelen doğrular kenarortaydır.
$G$ noktası bu kenarortayları köşeye $2$, kenara $1$ oranında böler:

• $C$ köşesinden gelen kenarortay $C$den $G$'ye $4\sqrt{2}$ ise, $G$'den kenara olan parça bunun yarısıdır ancak burada $GC$ uzunluğu zaten verilmiştir. $ABC$ dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay uzunluğu önemli bir rol oynar.
• Ağırlık merkezinin temel vektörel veya uzunluk bağıntılarından biri de kenarortay teoremidir. $ABC$ üçgeninde $B$ köşesinden $AC$'ye indirilen (veya $B$'den $G$'den geçen) doğruyu inceleyelim.
• Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir ($V_b = \frac{|AC|}{2}$). Eğer $B$ köşesinden $G$'den geçerek $AC$ üzerindeki orta noktaya bir kenarortay çizersek, bu uzunluk $|AC|/2$ olacaktır.

Adım 2: Kenarortay Uzunlukları Formülü (Apponius Teoremi / Kenarortay Teoremi)
Bir üçgende kenarortay uzunluğu $V_a$ için şu formül geçerlidir:
$$4V_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$$
Ancak burada $G$ ağırlık merkezi olduğu için, $AG$, $BG$ ve $CG$ uzunlukları arasında doğrudan üçgende ağırlık merkezi özellikleri kullanılabilir.

Görseldeki verilere dikkat edelim:

• $|AG| = 2\sqrt{7}$
• $|GC| = 4\sqrt{2}$

$G$ ağırlık merkezi olduğundan, $A$'dan çıkan kenarortayın tamamı ($V_a$):
$$|AA'| = \frac{3}{2} |AG| = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7}$$

$C$'den çıkan kenarortayın tamamı ($V_c$):
$$|CC'| = \frac{3}{2} |GC| = \frac{3}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Adım 3: Dik Üçgende Kenarortay Bağıntıları
Bir dik üçgende kenarortaylar arasında şu özel bağıntı vardır:
$$4(V_a^2 + V_c^2) = 5 \cdot |AC|^2$$

Bu formülü uygulayalım:

• $V_a = 3\sqrt{7} \implies V_a^2 = (3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$
• $V_c = 6\sqrt{2} \implies V_c^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$

Formülde yerine koyalım:
$$4 \cdot (63 + 72) = 5 \cdot |AC|^2$$
$$4 \cdot 135 = 5 \cdot |AC|^2$$
$$540 = 5 \cdot |AC|^2$$
$$|AC|^2 = \frac{540}{5} = 108$$
$$|AC| = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$$

Cevap: $6\sqrt{3}$