Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve görseli dikkatlice inceledik. Şimdi adım adım çözüme geçelim.

1. Verilenler ve İstenen

• Verilenler:
• $ABCD$ bir karedir.
• $F, E$ ve $C$ noktaları doğrusaldır ($F, E, C$ bir doğru üzerindedir).
• $4 \cdot |EC| = |DE|$ bağıntısı mevcuttur.
• Görselde $DEC$ açısının dik açı ($\angle DEC = 90^\circ$) olduğu belirtilmiştir.
• İstenen:
• $\sin(\widehat{AEF})$ değerinin kaç olduğu.

2. Adım Adım Çözüm

1. Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi:

• $|EC| = a$ olsun. Bu durumda verilen oran gereği $|DE| = 4a$ olur.
• $\triangle DEC$ üçgeni $E$ köşesinde dik olduğundan, Pisagor teoremi yardımıyla karenin bir kenarı olan $CD$ uzunluğunu bulabiliriz:

$$|CD| = \sqrt{|EC|^2 + |DE|^2} = \sqrt{a^2 + (4a)^2} = \sqrt{17a^2} = a\sqrt{17}$$

• $ABCD$ bir kare olduğundan tüm kenar uzunlukları eşittir:

$$|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a\sqrt{17}$$

1. Açı Tanımlamaları ve Benzerlikler:

• $F, E, C$ doğrusal olduğu için $F$ noktası $AB$ kenarı üzerindedir.
• $\angle DEC = 90^\circ$ olduğundan, doğrunun diğer tarafındaki açılarla ilişki kurabiliriz. Karenin bir iç açısı $90^\circ$ olduğu için trigonometrik oranları veya analitik/koordinat yöntemini kullanarak açıları bulmak en pratik yoldur.
• Kolaylık olması açısından $E$ noktasının koordinatlarını veya trigonometrik bağıntıları kullanalım:
• $\triangle DEC$ üçgeninde $\tan(\widehat{EDC})$ veya $\cos(\widehat{EDC})$ değerlerini yazabiliriz:

$$\cos(\widehat{EDC}) = \frac{|DE|}{|CD|} = \frac{4a}{a\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$$
$$\sin(\widehat{EDC}) = \frac{|EC|}{|CD|} = \frac{a}{a\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$$

1. Koordinat veya Vektör Yöntemiyle Açı Bulma:

• $D$ köşesini orijin $(0,0)$ kabul edelim:
• $D(0,0)$
• $C(a\sqrt{17}, 0)$
• $A(0, a\sqrt{17})$
• $B(a\sqrt{17}, a\sqrt{17})$
• $E$ noktası, $D$ ve $C$ doğrultusunda $DE$ uzunluğu $4a$ olan bir noktadır. $DEC$ doğrusunun eğimini bulalım:
• $C$ ve $D$ bilindiğine göre $DC$ doğrusu $x$ ekseni üzerindedir ($y=0$). Ancak $F, E, C$ doğrusu $C$ noktasından geçer ve $DEC = 90^\circ$ diktir.
• $DC$ doğrusuna dik olan ve $C$ noktasından geçen $EC$ doğrusunun denklemi $x = a\sqrt{17}$ doğrusuna diktir, yani $y$ eksenine paraleldir. Ancak şekilde $EC$ eğik duruyor, bu yüzden $E$ noktasının koordinatlarını $DEC$ üçgeninin açılarıyla bulalım:
• $\vec{DE}$ vektörünün uzunluğu $4a$ ve $DC$ ile yaptığı açı $\alpha = \widehat{EDC}$ olsun.
• $E$ noktasının koordinatları:

$$E = (4a \cos\alpha, 4a \sin\alpha) = \left(4a \cdot \frac{4}{\sqrt{17}}, 4a \cdot \frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \left(\frac{16a}{\sqrt{17}}, \frac{4a}{\sqrt{17}}\right)$$

1. $F$ Noktasının Bulunması:

• $F$ noktası $AB$ kenarı üzerindedir, yani $y_F = a\sqrt{17}$'dir.
• $F, E, C$ doğrusal olduğundan $F, E, C$ noktalarının eğimleri eşittir:
• $C(a\sqrt{17}, 0)$ ve $E\left(\frac{16a}{\sqrt{17}}, \frac{4a}{\sqrt{17}}\right)$
• Eğimi hesaplayalım ($m$):

$$m = \frac{y_C - y_E}{x_C - x_E} = \frac{0 - \frac{4a}{\sqrt{17}}}{a\sqrt{17} - \frac{16a}{\sqrt{17}}} = \frac{-\frac{4a}{\sqrt{17}}}{\frac{17a - 16a}{\sqrt{17}}} = \frac{-\frac{4a}{\sqrt{17}}}{\frac{a}{\sqrt{17}}} = -4$$

• $F$ noktası $AB$ kenarı üzerinde olduğundan $y_F = a\sqrt{17}$ ve $C$ ile eğimi $-4$ olan doğru denklemini yazarsak:

$$y - 0 = -4(x - a\sqrt{17}) \implies y = -4x + 4a\sqrt{17}$$

• $y = a\sqrt{17}$ için $x$ (yani $F$ nin apsisi):

$$a\sqrt{17} = -4x + 4a\sqrt{17} \implies 4x = 3a\sqrt{17} \implies x_F = \frac{3a\sqrt{17}}{4}$$
Dolayısıyla $F$ nin koordinatları: $F\left(\frac{3a\sqrt{17}}{4}, a\sqrt{17}\right)$

1. $\sin(\widehat{AEF})$ Değerinin Hesaplanması:

• $\vec{EA}$ ve $\vec{EF}$ vektörlerini yazarak aradaki açının sinüsünü bulabiliriz.
• Veya daha pratik olarak: $AEF$ açısı ile ilgili trigonometrik bağıntıları kullanabiliriz.
• $E$ noktasından $AB$ kenarına bir dikme indirdiğimizde oluşan dik üçgenler veya teğet/tanjant formülleri kullanılabilir.
• $A(0, a\sqrt{17})$ ve $E\left(\frac{16a}{\sqrt{17}}, \frac{4a}{\sqrt{17}}\right)$ olduğundan $\vec{AE}$ vektörü:

$$\vec{AE} = \left(\frac{16a}{\sqrt{17}} - 0, \frac{4a}{\sqrt{17}} - a\sqrt{17}\right) = \left(\frac{16a}{\sqrt{17}}, -\frac{13a}{\sqrt{17}}\right)$$

• $\vec{EF}$ vektörü ($F - E$):

$$\vec{EF} = \left(\frac{3a\sqrt{17}}{4} - \frac{16a}{\sqrt{17}}, a\sqrt{17} - \frac{4a}{\sqrt{17}}\right)$$
Paydaları eşitleyip sadeleştirirsek:
$$\vec{EF} = \left(\frac{51a - 64a}{4\sqrt{17}}, \frac{13a}{\sqrt{17}}\right) = \left(-\frac{13a}{4\sqrt{17}}, \frac{13a}{\sqrt{17}}\right)$$

• İki vektör arasındaki açının trigonometrik oranlarından, $\vec{AE}$ ve $\vec{EF}$ doğrultularının eğimleri ($m_1$ ve $m_2$):
• $m_1 = \frac{-\frac{13a}{\sqrt{17}}}{\frac{16a}{\sqrt{17}}} = -\frac{13}{16}$
• $m_2 = \frac{\frac{13a}{\sqrt{17}}}{-\frac{13a}{4\sqrt{17}}} = -4$
• İki doğru arasındaki açının tanjantı:

$$\tan(\theta) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right| = \left|\frac{-\frac{13}{16} - (-4)}{1 + \left(-\frac{13}{16}\right)(-4)}\right| = \left|\frac{-\frac{13}{16} + 4}{1 + \frac{52}{16}}\right| = \left|\frac{\frac{51}{16}}{\frac{68}{16}}\right| = \frac{51}{68} = \frac{3}{4}$$

• $\tan(\widehat{AEF}) = \frac{3}{4}$ olarak bulunur.
• Bir dik üçgende tanjantı $\frac{3}{4}$ olan açının sinüsü:

$$\sin(\widehat{AEF}) = \frac{3}{5}$$

Cevap: B