Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve görseli dikkatlice inceledim. Adım adım çözümümüzü yapalım.

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 36 numaralı soru metni ve şekil şu şekildedir:

• $ABC$ bir dik üçgen, $[AB] \perp [BC]$
• $E \in [AB]$ (Doğrusal uzantı üzerinde veya $AB$ doğrusu üzerinde)
• $m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{CAB})$ (Şekilde açıların eşitliği yay sembolleriyle gösterilmiştir)
• $|BC| = 9\text{ cm}$
• $|AC| = |AD| = 15\text{ cm}$

İstenen: $|BD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm Adımları

Adim 1: $ABC$ Dik Üçgeninde Kenar Uzunluklarının Bulunması

$ABC$ üçgeni $B$ köşesinde dik olan bir dik üçgendir ($[AB] \perp [BC]$).

• $|BC| = 9$
• $|AC| = 15$ ($3-4-5$ özel üçgeninin $3$ katı: $3 \times 3 = 9$, $5 \times 3 = 15$)

Pisagor bağıntısı veya özel üçgenden $AB$ kenar uzunluğunu bulalım:
$|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$
$|AB|^2 + 9^2 = 15^2$
$|AB|^2 + 81 = 225$
$|AB|^2 = 144 \implies |AB| = 12\text{ cm}$

Adim 2: Açıortay Özelliğinin Kullanılması

Şekilde $m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{CAB})$ olarak verilmiştir. $E, A, B$ noktaları doğrusal olduğundan, $\widehat{EAD}$ açısı ile $\widehat{CAB}$ açısı bütünler açılardandır veya $AD$ doğrusu $CAB$ açısının dış açıortayı veya benzeri bir konumdadır.

Daha dikkatli incelersek:
$E, A$ ve $B$ noktaları bir doğru üzerindedir. $m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{CAB})$ ise, $AD$ doğrusu ile $AC$ doğrusu $AB$ doğrusu ile eşit açılar yapmaktadır.
Geometrik olarak $A$ noktasından çizilen $AD$ doğrusu, $CAB$ açısının dış açıortayıdır ($m(\widehat{DAB}) = 180^\circ - m(\widehat{EAD}) = 180^\circ - m(\widehat{CAB})$).

Adim 3: Koordinat Düzlemi veya Kosinüs Teoremi ile $|BD|$'nin Hesaplanması

$A$ noktasını orijin $(0,0)$ kabul edelim:

• $B$ noktası $x$ ekseni üzerinde olsun: $B(12, 0)$ (çünkü $|AB| = 12$)
• $C$ noktası: $B$ noktasından dik çıktığına göre $C(12, 9)$ (çünkü $|BC| = 9$)

$A$ merkezli ve yarıçapı $r = 15$ olan çember üzerinde $D$ noktası bulunmaktadır (çünkü $|AD| = 15$).
$A$ ve $C$ arasındaki açıya $\alpha$ dersek;
$\cos(\widehat{CAB}) = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$
$\sin(\widehat{CAB}) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

$C$ noktasının koordinatları $A$'ya göre $(12, 9)$ olduğuna göre, $C$ vektörü:
$\vec{AC} = (12, 9)$

$m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{CAB})$ olduğundan, $D$ noktasının $AB$ doğrusu ile yaptığı açı $CAB$ açısına eşittir. $D$ noktası sol tarafta ($E$ yönünde) kaldığı için $D$'nin koordinatlarını bulabiliriz:
$|AD| = 15$ ve $D$nin $AB$ doğrusuna uzaklığı ($y$ bileşeni) $15 \times \sin(\widehat{CAB}) = 15 \times \frac{3}{5} = 9$'dur.
$x$ bileşeni ise sol tarafa doğru olduğundan $-15 \times \cos(\widehat{CAB}) = -15 \times \frac{4}{5} = -12$'dir.
Yani $D(-12, 9)$ noktasıdır.

Adim 4: $B$ ve $D$ Noktaları Arasındaki Uzaklık

$B(12, 0)$ ve $D(-12, 9)$ noktaları arasındaki uzaklık formülüyle $|BD|$'yi hesaplayalım:
$|BD| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$|BD| = \sqrt{(-12 - 12)^2 + (9 - 0)^2}$
$|BD| = \sqrt{(-24)^2 + 9^2}$
$|BD| = \sqrt{576 + 81}$
$|BD| = \sqrt{657}$

$\sqrt{657}$ ifadesini dışarı çıkaralım:
$657 / 9 = 73$ olduğu için,
$\sqrt{657} = \sqrt{9 \times 73} = 3\sqrt{73}\text{ cm}$

Cevap: C