Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır:

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• $K$ noktasından serbest bırakılan bir cisim, $r$ yarıçaplı düşey kesitli çembersel rayın içinde sürtünmesiz bir şekilde hareket etmektedir. (Not: Görseldeki şekle göre çemberin en alt noktası taban seviyesi/yatay referans olarak alınmıştır; ayrıca $M$ noktası çemberin merkezi ile aynı düşey hizada ve çemberin sağ tarafında $r$ yarıçap uzaklığında gösterilmiştir. Görselde $L$ noktası harf olarak açıkça yazılmamış olsa da, 1. öncüldeki "L noktasından geçerken" ifadesi genellikle rayın en alt noktasını (yatay çizginin değdiği yeri) temsil etmektedir.)
• Sürtünmeler önemsizdir.

İstenen:
Cisimle ilgili verilen I, II ve III numaralı yargılardan hangilerinin doğru olduğunun belirlenmesi.

Adım Adım Çözüm

I. Öncülün İncelenmesi

"L noktasından geçerken rayın uyguladığı tepki kuvveti, cismin ağırlığına eşit büyüklüktedir."

• $L$ noktası (rayın en alt noktası) için cismin çembersel yörüngede hareket edebilmesi adına merkeze doğru (yukarı yönlü) bir net merkezoşku/merkezcil kuvvet oluşmalıdır.
• Rayın uyguladığı normal tepki kuvveti $N$, aşağı yönlü ağırlık kuvveti $mg$ ile zıt yönlüdür. Merkezcil kuvvet denklemi şu şekildedir:

$$N - mg = \frac{m v^2}{r}$$
$$N = mg + \frac{m v^2}{r}$$

• Cisim $K$ noktasından serbest bırakıldığı için rayın en alt noktasından geçerken hızı sıfırdan farklıdır ($v > 0$). Bu nedenle rayın uyguladığı tepki kuvveti ağırlıktan büyüktür ($N > mg$).
• I. yargı yanlıştır.

II. Öncülün İncelenmesi

"M'den geçerken merkezcil kuvvet, rayın uyguladığı tepki kuvvetidir."

• Şekle göre $M$ noktası, çemberin merkezi ile aynı seviyede (yatay yarıçap doğrultusunda) yer almaktadır.
• Bu noktada cismin ağırlık kuvveti ($mg$) düşey aşağı yönlüdür ve hareket doğrultusuna (merkezcil doğrultuya) diktir; yani merkezcil kuvvete bir katkısı yoktur.
• Cisme merkezcil doğrultuda etki eden tek kuvvet, rayın merkeze doğru uyguladığı normal tepki kuvvetidir ($N_M$).
• Dolayısıyla, $M$ noktasından geçerken merkezcil kuvvet doğrudan rayın uyguladığı tepki kuvvetine eşittir:

$$F_{\text{merkezcil}} = N_M$$

• II. yargı doğrudur.

III. Öncülün İncelenmesi

"M'den geçerken net kuvvet ve merkezcil kuvvet birbirine eşittir."

• Bir cisim çembersel hareket yaparken net kuvvetin merkezcil bileşeni merkezcil kuvvete eşittir. Ancak cismin $M$ noktasındaki hareketinde, teğetsel yönde de yer çekimi kuvvetinin bileşeni ($mg$) etki etmektedir.
• Net kuvvet, merkezcil kuvvet ile teğetsel kuvvetin vektörel toplamıdır:

$$\vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_{\text{merkezcil}} + \vec{F}_{\text{teğetsel}}$$

• Vektörel olarak net kuvvet ile merkezcil kuvvet aynı şey değildir (çünkü teğetsel ivmeden dolayı teğetsel kuvvet sıfırdan farklıdır).
• III. yargı yanlıştır.

Cevap: B) Yalnız II