Görsel soru

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• $ABC$ bir üçgendir.
• $G$ noktası, $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezidir.
• $DG$ doğrusu $\widehat{ADC}$ açısının (veya ilgili açının) açıortayıdır. (Görselde $DG$'nin $\widehat{ADB}$ veya $\widehat{ADC}$ açısını ortaladığı açıortay işaretinden görülmektedir; $D$ noktası $AB$ kenarı üzerindedir).
• $|AD| = 7\text{ cm}$
• $|DC| = 10\text{ cm}$

İstenen:

• $|BD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

Adım Adım Çözüm

1. Ağırlık Merkezinin Özelliği ve Kenarortay İlişkisi

$G$ noktası $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezidir. $C$ köşesinden $G$ üzerinden geçerek $AB$ kenarı üzerindeki $D$ noktasına çizilen doğru parçası bir kenarortay olmalıdır. Ancak burada $D$ noktası $AB$ kenarı üzerinde verilmiştir ve $CD$ doğrusu $C$'den inen kenarortaydır.

$G$ ağırlık merkezi olduğuna göre, kenarortay üzerindedir ve köşeye olan uzaklığın kenara olan uzaklığa oranı $2:1$'dir. Yani:
$$\frac{|CG|}{|GD|} = \frac{2}{1}$$
Eğer $|GD| = x$ dersek, $|CG| = 2x$ olur.

2. Açıortay Teoremi Uygulaması

$ADC$ üçgeninde $DG$ doğrusu $\angle ADC$ açısının açıortayı olarak verilmiştir. İç açıortay teoremini $ADC$ üçgenine uygulayabiliriz:
$$\frac{|AD জনসংখ্যার ?|}{|DC|} = \frac{|AG|}{|GC|} \quad \text{yerine}$$
Açıortayın kollara ayırdığı oran teoremi gereği:
$$\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AG^\prime|}{\dots}$$
Daha doğrusu, $DG$ doğrusu $ADC$ üçgeninde $\angle D$ açısının açıortayıdır. Bu durumda:
$$\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AG_\text{oranı}|}{|GC_\text{oranı}|}$$
Ancak $G$ ağırlık merkezi olduğundan $CG$ doğrusu $C$'den gelen kenarortaydır. $D$ noktası $AB$ üzerindedir ve $CD$ doğrusu $ABC$ üçgeninin $C$'ye ait kenarortayıdır.

Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:

• $|AD| = 7$
• $|DC| = 10$

$CD$ doğrusu $ABC$ üçgeninin kenarortayı olduğundan $D$ noktası $AB$ kenarının orta noktasıdır. Yani:
$$|BD| = |AD|$$

$|AD| = 7\text{ cm}$ olarak verilmiştir. O halde $D$ noktası $AB$ kenarının orta noktası olduğundan:
$$|BD| = |AD| = 7\text{ cm}$$

Cevap: 7