Problemler

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve eklenen görseli dikkatlice inceledik. Şimdi adım adım çözüme geçelim.

Verilenler ve İstenen

Görseldeki haritaya göre konumların soldan sağa sıralaması şu şekildedir:

1. Park
2. Okul (Park ile Okul arası mesafe: $a$)
3. Ev (Okul ile Ev arası mesafe: $b$)
4. Market (Ev ile Market arası mesafe: $c$)

Ömer'in günlük yürüyüş mesafesi hedefi $H$ olsun. Soruda bu hedefin marketten parka kadar olan mesafe kadar olduğu söylenmiştir.
Haritaya göre marketten parka kadar olan toplam mesafe tüm aralıkların toplamıdır:
$$H = a + b + c$$

Ömer'in yürüyüş durumları için verilen bilgiler:

1. Evden markete, marketten de okula yürüdüğünde hedefini aştığı:
   • Evden markete mesafe: $c$
   • Marketten okula mesafe: $c + b + a$
   • Toplam mesafe: $c + (c + b + a) = 2c + b + a$
   • Bu mesafe hedefi aşmaktadır:

$$2c + b + a > a + b + c \implies c > 0$$ (zaten uzunluklar pozitif). Buradan sadeleştirme yaparsak:
$$2c + b + a > a + b + c \implies c > 0$$ yerine her iki taraftan $a+b+c$ çıkarırsak:
$$(a + b + c) + c > a + b + c \implies c > 0$$ (Bu her zaman doğrudur). Daha dikkatli yazarsak:
$$2c + b + a > a + b + c \implies c > 0$$ değil, yanlış sadeleştirdik:
$$2c + b + a > a + b + c \implies c > 0$$ yerine, $a+b$ler birbirini götürür:
$$2c > a + c \implies c > a$$ elde edilir.

2. Evden okula, okuldandan da markete yürüdüğünde ise hedefine ulaşamadığı:
   • Evden okula mesafe: $b$
   • Okuldan markete mesafe: $a + b + c$
   • Toplam mesafe: $b + (a + b + c) = a + 2b + c$
   • Bu mesafe hedefe ulaşamamaktadır (hedefden küçüktür):

$$a + 2b + c < a + b + c$$
Her iki taraftan $a+c$ çıkarırsak:
$2b < b \implies b < 0$ olamaz! Tekrar kontrol edelim:
Hedefimiz $H = a + b + c$ idi.
İkinci öncül: "evden okula ($b$), okuldan da markete ($a+b+c$)" diyor. Toplam yürüyüş: $b + a + b + c = a + 2b + c$.
"Hedefine ulaşamadığı" söyleniyor, yani:
$$a + 2b + c < a + b + c$$
Eşitsizliği çözersek:
$$2b < b \implies b < 0$$ uzunluk negatif olamayacağına göre burada bir hata yaptık. Sorudaki mesafeleri tekrar okuyalım:

Haritadaki sıralama: Park -> Okul -> Ev -> Market

• Park ile Okul arası: $a$
• Okul ile Ev arası: $b$
• Ev ile Market arası: $c$

Yürüyüş yolları:

• 1. Durum (Evden markete, marketten okula):
  • Evden markete: $c$
  • Marketten okula: $c + b$
  • Toplam: $c + c + b = 2c + b$ (Ahanda! Marketten okula derken aradaki ev geçiliyor: Market -> Ev -> Okul = $c + b$).
  • Tekrar bakalım: Marketten okula giderken marketten eve ($c$) ve evden okula ($b$) gidilir, yani toplam $c+b$. Evden markete ise $c$. Toplam yürüyüş = $c + (c + b) = 2c + b$.
  • Bu mesafe hedefi ($a+b+c$) aşıyor:

$$2c + b > a + b + c \implies c > a$$

• 2. Durum (Evden okula, okuldan markete):
  • Evden okula: $b$
  • Okuldan markete: $a + c$ (Okuldan parka $a$, parktan okula $a$ değil; haritada soldan sağa Park, Okul, Ev, Market sıralı).
  • Okuldan markete giderken Okul -> Ev ($b$) -> Market ($c$) yani $b + c$ kadar yol yürünür.
  • Toplam yürüyüş (Evden okula [$b$] + Okuldan markete [$b+c$]): $b + b + c = 2b + c$.
  • Bu mesafe hedefe ulaşamıyor ($a+b+c$):

$$2b + c < a + b + c \implies b < a$$

Adım Adım Sıralama

Elde ettiğimiz iki eşitsizlik:

1. $c > a$
2. $b < a$ (yani $b < a < c$ ilişkisinin bir kısmı)

Şimdi $b$ ile $c$ arasındaki ilişkiyi bulalım.
Genel toplam hedefimiz $a + b + c$ idi.
Ancak seçeneklere baktığımızda:

• A) $a < b < c$
• B) $b < a < c$
• C) $b < c < a$
• D) $c < b < a$
• E) $b < c < a$ (E seçeneği: $b < c < a$)

Bulduğumuz sonuçlar:

• $b < a$
• $a < c$

Bu iki eşitsizliği birleştirirsek:
$$b < a < c$$ sıralamasını elde ederiz. Bu da B seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.

Cevap

B) $b < a < c$