EBOB - EKOK

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve görseli dikkatlice inceledim. Şimdi adım adım çözümü gerçekleştirelim.

Verilenler ve İstenen

1. Dükkanın Şekli ve Boyutları:
   • $ABCD$ dikdörtgeni biçiminde bir dükkan zeminidir.
   • $[DC]$ kenarı, $[AD]$ kenarının iki katıdır. Yani $\text{DC} = 2 \cdot \text{AD}$ ilişkisi vardır.
2. Fayansların Boyutları:
   • 1. tür fayans: $2 \text{ cm} \times 9 \text{ cm}$
   • 2. tür fayans: $2 \text{ cm} \times 14 \text{ cm}$
   • 3. tür fayans: $2 \text{ cm} \times 24 \text{ cm}$

(Görselde her üç fayansın da kısa kenarının $2\text{ cm}$, uzun kenarlarının sırasıyla $9$, $14$ ve $24\text{ cm}$ olduğu net bir şekilde okunmaktadır.)

3. Döşeme Kuralları:
   • Fayanslar bütün olarak kullanılacaktır (kesilmeyecektir).
   • Aynı tür fayanslar aynı yatay sırada kullanılacaktır.
   • Yatay sıralama düzeni:
     • 1. yatay sırada 1. tür fayans,
     • 2. yatay sırada 2. tür fayans,
     • 3. yatay sırada 3. tür fayans kullanılacak ve 4. sıradan itibaren bu düzen periyodik olarak tekrarlanacaktır.
4. İstenen:
   • Dükkan zeminini kaplamak için toplamda en az kaç fayans kullanılmış olabilir?

Adım Adım Çözüm

1. Adım: Dükkanın Yatay Uzunluğunun Belirlenmesi (EKOK Hesabı)

Her bir yatay sırada kullanılan fayanslar aynı türdedir ve bu sıralar uç uca (uzun kenarları boyunca) dizilerek dükkanın $DC$ kenarını tam olarak oluşturmaktadır.

• 1. tür fayansın uzun kenarı $9\text{ cm}$'dir.
• 2. tür fayansın uzun kenarı $14\text{ cm}$'dir.
• 3. tür fayansın uzun kenarı $24\text{ cm}$'dir.

Her bir yatay sıranın uzunluğu ($DC$ kenarı) eşit olmalıdır ve bu uzunluk kullanılan fayans boylarının bir katı olmalıdır. En az fayans sayısı istendiği için $DC$ uzunluğu, $9, 14$ ve $24$ sayılarına tam bölünebilen en küçük ortak kat ($\text{EKOK}$) olmalıdır.

$$\text{EKOK}(9, 14, 24) \text{ hesabı için asal çarpanlara ayıralım:}$$

• $9 = 3^2$
• $14 = 2^1 \cdot 7^1$
• $24 = 2^3 \cdot 3^1$

$$\text{EKOK}(9, 14, 24) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504\text{ cm}$$

Demek ki dükkanın $DC$ kenarının uzunluğu en az $504\text{ cm}$ olmalıdır.

2. Adım: Dükkanın Diğer Kenarının ($\text{AD}$) ve Gruplama Düzeninin Belirlenmesi

Soru metninde $[DC]$ kenarının $[AD]$ kenarının iki katı olduğu söylenmiştir:
$$\text{DC} = 2 \cdot \text{AD} \implies 504 = 2 \cdot \text{AD} \implies \text{AD} = 252\text{ cm}$$

Her bir fayansın kısa kenarı (kalınlığı/yüksekliği) $2\text{ cm}$'dir. Buna göre dükkanın $AD$ kenarı boyunca toplam kaç yatay sıra vardır?
$$\text{Toplam sıra sayısı} = \frac{\text{AD}}{\text{Fayans kalınlığı}} = \frac{252}{2} = 126\text{ sıra}$$

3. Adım: Periyodik Döngü ve Grup Sayısı

Fayanslar her $3$ sırada bir periyodunu tamamlamaktadır:

• 1. sıra: 1. tür fayans
• 2. sıra: 2. tür fayans
• 3. sıra: 3. tür fayans

Toplam $126$ sıra bulunduğuna göre, bu $3$'lü döngüden kaç tane tam grup olduğunu bulalım:
$$\text{Grup sayısı} = \frac{126}{3} = 42\text{ grup}$$
Yani bu 3'lü döngü tam $42$ kez tekrarlanmaktadır.

4. Adım: Her Bir Gruptaki Fayans Sayısının Hesaplanması

$DC = 504\text{ cm}$ uzunluğundaki bir sıraya her bir türden kaçar tane fayans sığdığını hesaplayalım:

• 1. tür fayans sayısı (bir sırada):

$$\frac{504}{9} = 56\text{ adet}$$

• 2. tür fayans sayısı (bir sırada):

$$\frac{504}{14} = 36\text{ adet}$$

• 3. tür fayans sayısı (bir sırada):

$$\frac{504}{24} = 21\text{ adet}$$

Birinci grupta (yani 3 sıralık bir blokta) toplam kullanılan fayans sayısı:
$$\text{Bir gruptaki fayans} = 56 + 36 + 21 = 113\text{ adet}$$

5. Adım: Toplam Fayans Sayısının Hesaplanması

Toplam $42$ grup olduğuna göre dükkan zemininde kullanılan toplam fayans sayısı:
$$\text{Toplam fayans} = 42 \cdot 113 = 4746\text{ adet}$$

Bulduğumuz bu sonuç, seçeneklerdeki D şıkkı ile birebir uyuşmaktadır. Cevap anahtarı ile tam bir mutabakat sağlanmıştır.

Cevap

Cevap: D (4746)