Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır:

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• İş merkezi 40 katlıdır.
• Ardışık numaralı her iki kat arasında $2^5$ tane merdiven basamağı bulunmaktadır.
• Hakan, Ömer ve Handan farklı katlardadır.
• Hakan'ın katı ile Ömer'in katı arasındaki toplam basamak sayısı $32^2$'dir.
• Ömer'in katı ile Handan'ın katı arasındaki toplam basamak sayısı $8^3$'tür.

İstenen:

• Hakan, Ömer ve Handan'ın iş yerlerinin bulunduğu katların numaraları toplamının en çok kaç olabileceği.

Adım Adım Çözüm

1. Basamak sayılarını üslü ifade olarak düzenleme

İki kat arasındaki basamak sayısı $2^5 = 32$'dir. Herhangi iki kat arasındaki kat farkı $k$ olsun, bu durumda bu iki kat arasındaki toplam basamak sayısı $k \cdot 2^5$ olur.

Verilen toplam basamak sayılarını 2 tabanında yazalım:

• Hakan ile Ömer arasındaki toplam basamak sayısı:

$$32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}$$

• Ömer ile Handan arasındaki toplam basamak sayısı:

$$8^3 = (2^3)^3 = 2^9$$

2. Kat farklarını hesaplama

Katlar arasındaki farkları bulmak için toplam basamak sayısını iki kat arasındaki basamak sayısına ($2^5$) bölelim:

• Hakan'ın katı ($H$) ile Ömer'in katı ($Ö$) arasındaki kat farkı ($|H - Ö$):

$$\frac{2^{10}}{2^5} = 2^{10-5} = 2^5 = 32$$

• Ömer'in katı ($Ö$) ile Handan'ın katı ($N$) arasındaki kat farkı ($|Ö - N|$):

$$\frac{2^9}{2^5} = 2^{9-5} = 2^4 = 16$$

3. Kat numaralarının toplamını en büyük yapmak

Kat numaraları toplamının en çok olmasını istiyorsak, kişilerin kat numaralarını olabildiğince büyük seçmeliyiz. İş merkezi en çok 40 katlı olduğundan, kat numaraları $1$ ile $40$ arasında değişebilir.

Ömer'in katı ($Ö$) üzerinden diğer kişilerin katlarını ifade edelim:

• $H = Ö + 32$ veya $H = Ö - 32$
• $N = Ö + 16$ veya $N = Ö - 16$

Kat numaralarının toplamının en büyük olması için Ömer'in katını olabildiğince büyük seçmeliyiz. Ancak Hakan ile Ömer arasında 32 kat fark olduğundan ve toplam kat sayısı 40 olduğu için, Ömer'in katı en fazla 8 olabilir (çünkü $8 + 32 = 40$).

Ömer'in katını $Ö = 8$ alalım:

• Hakan'ın katı: $H = 8 + 32 = 40$ (En üst kat)
• Handan'ın katı için iki durum vardır:
  • Eğer $N = Ö + 16 = 8 + 16 = 24$ olursa, üçünün katları toplamı:

$$H + Ö + N = 40 + 8 + 24 = 72$$

• Eğer $N = Ö - 16$ olsaydı kat numarası negatif olacağından bu durum geçersizdir.

Bulunan kat numaraları (40, 8 ve 24) 1 ile 40 aralığındadır ve bina sınırlarını aşmamaktadır.

Cevap: 72