Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır:

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• $a, b, c$ birer rakamdır. Yani $a, b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
• $|a - 3b| + |3b - c| = c - a$ eşitliği sağlanmaktadır.

İstenen:

• Bu koşulu sağlayan kaç farklı $(a, b, c)$ sıralı üçlüsünün olduğunu bulmak.

Adım Adım Çözüm

1. Mutlak Değer Özelliğinden Yararlanma

Mutlak değerin tanımı gereği, herhangi iki $x$ ve $y$ gerçek sayısı için $|x - y| = |y - x|$ eşitliği her zaman doğrudur. Bu özelliği kullanarak birinci ifademizi düzenleyelim:
$$|a - 3b| = |3b - a|$$

Verilen denklemde yerine yazarsak:
$$|3b - a| + |3b - c| = c - a$$

2. Mutlak Değerlerin Dışarı Çıkış Durumlarını İnceleme

Temel mutlak değer kuralına göre, $x + y = |x| + |y|$ eşitliğinin sağlanması için $x$ ve $y$ sayı اینکهlerinin aynı işaretli olması (yani çarpımlarının sıfırdan büyük veya eşit olması) gerekir. Buna göre:
$$(3b - a) \cdot (3b - c) \ge 0$$

Ayrıca eşitliğin sağ tarafındaki $c - a$ ifadesi, iki mutlak değerin toplamına eşit olduğundan negatif olamaz. Yani:
$$c - a \ge 0 \implies c \ge a$$

Bu eşitsizlikleri sağlayan durumlara bakalım:

Durum 1: $3b - a \ge 0$ ve $3b - c \ge 0$

Bu durumda mutlak değerler aynen dışarı çıkar:
$$(3b - a) + (3b - c) = c - a$$
$$6b - a - c = c - a$$

Her iki taraftan $-a$ terimini sadeleştirirsek:
$$6b - c = c$$
$$6b = 2c \implies c = 3b$$

Şimdi elimizdeki eşitsizlikleri ve $c = 3b$ koşulunu birleştirelim:

• $3b - a \ge 0 \implies a \le 3b$
• $3b - c \ge 0 \implies 3b \ge c$ (Zaten $c = 3b$ olduğu için bu her zaman sağlanır.)
• $c = 3b$ olduğundan $c$ bir rakamdır ve $3$ün katı olmalıdır ($c \in \{0, 3, 6, 9\}$).

Şimdi $b$ değerlerine göre $(a, b, c)$ üçlülerini sayalım:

• Eğer $b = 0$ ise: $c = 3(0) = 0$ olur.
  • $a \le 3(0) \implies a \le 0 \implies a = 0$ (1 değer).
  • Üçlü: $(0, 0, 0)$ $\rightarrow$ 1 tane
• Eğer $b = 1$ ise: $c = 3(1) = 3$ olur.
  • $a \le 3(1) \implies a \le 3 \implies a \in \{0, 1, 2, 3\}$ (4 değer).
  • Üçlüler: $(0,1,3), (1,1,3), (2,1,3), (3,1,3)$ $\rightarrow$ 4 tane
• Eğer $b = 2$ ise: $c = 3(2) = 6$ olur.
  • $a \le 3(2) \implies a \le 6 \implies a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (7 değer).
  • Üçlüler: $(0,2,6), (1,2,6), \dots, (6,2,6)$ $\rightarrow$ 7 tane
• Eğer $b = 3$ ise: $c = 3(3) = 9$ olur.
  • $a \le 3(3) \implies a \le 9 \implies a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ (10 değer).
  • Üçlüler: $(0,3,9), (1,3,9), \dots, (9,3,9)$ $\rightarrow$ 10 tane

Bu durumdan gelen toplam çözüm sayısı:
$$1 + 4 + 7 + 10 = 22$$

Durum 2: $3b - a \le 0$ ve $3b - c \le 0$

Bu durumda mutlak değerler eksi ile çarpılarak dışarı çıkar:
$$-(3b - a) - (3b - c) = c - a$$
$$-3b + a - 3b + c = c - a$$
$$-6b + a + c = c - a$$

Her iki taraftan $c$ terimini sadeleştirirsek:
$$-6b + a = -a$$
$$2a = 6b \implies a = 3b$$

Şimdi koşullarımıza bakalım:

• $3b - a \le 0 \implies 3b \le a$ (Zaten $a = 3b$ olduğu için sağlanır.)
• $3b - c \le 0 \implies 3b \le c$
• $a = 3b$ olduğundan $a$ bir rakamdır ve $3$ün katı olmalıdır ($a \in \{0, 3, 6, 9\}$).

Şimdi $b$ değerlerine göre $(a, b, c)$ üçlülerini sayalım:

• Eğer $b = 0$ ise: $a = 3(0) = 0$ olur.
  • $3(0) \le c \implies 0 \le c \le 9$ ($c$ için 10 farklı rakam seçilebilir: $0, 1, \dots, 9$).
  • Üçlü sayısı: 10 tane
• Eğer $b = 1$ ise: $a = 3(1) = 3$ olur.
  • $3(1) \le c \implies 3 \le c \le 9$ ($c$ için 7 farklı rakam seçilebilir: $3, 4, \dots, 9$).
  • Üçlü sayısı: 7 tane
• Eğer $b = 2$ ise: $a = 3(2) = 6$ olur.
  • $3(2) \le c \implies 6 \le c \le 9$ ($c$ için 4 farklı rakam seçilebilir: $6, 7, 8, 9$).
  • Üçlü sayısı: 4 tane
• Eğer $b = 3$ ise: $a = 3(3) = 9$ olur.
  • $3(3) \le c \implies 9 \le c \le 9$ ($c$ için 1 farklı rakam seçilebilir: $9$).
  • Üçlü sayısı: 1 tane

Bu durumdan gelen toplam çözüm sayısı:
$$10 + 7 + 4 + 1 = 22$$

3. Ortak Çözümlerin İncelenmesi ($3b - a = 0$ ve $3b - c = 0$)

Her iki durumda da $a = 3b$ ve $c = 3b$ olduğu durumlar ($a = c = 3b$) ortak olarak iki kez sayılmış olabilir.
Eğer $a = 3b$ ve $c = 3b$ ise:

• $a = c$ olur.
• Denklemde yerine yazalım:

$$|3b - 3b| + |3b - 3b| = 3b - 3b \implies 0 = 0$$
Bu eşitlik her zaman doğrudur.

Bu ortak durumlar ($a = c = 3b$):

• $b = 0$ için $a = 0, c = 0 \rightarrow (0,0,0)$ (1 tane)
• $b = 1$ için $a = 3, c = 3 \rightarrow (3,1,3)$ (1 tane)
• $b = 2$ için $a = 6, c = 6 \rightarrow (6,2,6)$ (1 tane)
• $b = 3$ için $a = 9, c = 9 \rightarrow (9,3,9)$ (1 tane)

Toplamda 4 tane ortak çözüm vardır. Kümelerde kesişim kümesini çıkardığımız gibi toplam sonuçtan bu ortak çözümleri bir kez çıkarmalıyız:
$$\text{Toplam Çözüm} = 22 + 22 - 4 = 40$$