Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve görseli dikkatlice inceledim. Şimdi adım adım çözümü birlikte yapalım.

Verilenler ve İstenen

Görseldeki soruda verilenler:

• $m$ ve $n$ pozitif gerçel sayılardır ($m > 0, n > 0$).
• Fonksiyonumuz: $f(x) = |x - m| - |x + n|$ şeklindedir.

İstenen:

• $f(x)$ fonksiyonunun alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

Adım Adım Çözüm

Mutlak değer içeren fonksiyonların uç değerlerini (en büyük ve en küçük değerlerini) bulmak için kritik noktaları incelememiz gerekir.

1. Kritik Noktalar:

$f(x)$ fonksiyonunun içini sıfır yapan değerler kritik noktalardır:

• $x - m = 0 \implies x = m$
• $x + n = 0 \implies x = -n$

$m > 0$ ve $n > 0$ olduğu için $-n < m$ eşitsizliği geçerlidir.

1. $x$ Değerinin Aralıklarına Göre Fonksiyonun İncelenmesi:

• Durum 1: $x < -n$ iken

Her iki mutlak değerin de içi negatiftir:
$|x - m| = -(x - m) = -x + m$
$|x + n| = -(x + n) = -x - n$

Fonksiyon bu aralıkta:
$$f(x) = (-x + m) - (-x - n) = -x + m + x + n = m + n$$
Yani $x < -n$ için $f(x)$ sabit bir değer alır ve bu değer $m + n$'dir.

• Durum 2: $-n \le x \le m$ iken

$|x - m| = -(x - m) = -x + m$
$|x + n| = x + n$

Fonksiyon bu aralıkta:
$$f(x) = (-x + m) - (x + n) = -2x + m - n$$
Bu ifade $x$ e bağlı azalan bir fonksiyondur. Bu aralıktaki uç değerler:

• $x = -n$ için: $f(-n) = -2(-n) + m - n = 2n + m - n = m + n$
• $x = m$ için: $f(m) = -2(m) + m - n = -m - n = -(m + n)$

• Durum 3: $x > m$ iken

Her iki mutlak değerin de içi pozitiftir:
$|x - m| = x - m$
$|x + n| = x + n$

Fonksiyon bu aralıkta:
$$f(x) = (x - m) - (x + n) = x - m - x - n = -(m + n)$$
Yani $x > m$ için $f(x)$ sabit bir değer alır ve bu değer $-(m + n)$'dir.

1. En Büyük ve En Küçük Değerlerin Tespiti:

• Fonksiyonun alabileceği en büyük değer ($m + n$) dir.
• Fonksiyonun alabileceği en küçük değer $-(m + n)$ dir.

1. Toplamın Hesaplanması:

$$\text{En Büyük Değer} + \text{En Küçük Değer} = (m + n) + [-(m + n)] = 0$$

Cevap: C