Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Gönderdiğin görseli dikkatlice inceledim.

Verilenler ve İstenen

Görselde herhangi bir soru metni, şık veya sayısal değer bulunmamaktadır. Sadece cebirsel özdeşlikler yer almaktadır.

Görselde yazılı olan ifadeler:

1. İki küp toplamı formülünün farklı bir biçimde yazılışı:

$$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$$

1. İki küp toplamının çarpanlara ayrılmış hali:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

İstenen durum ise bu özdeşliklerin adım adım nasıl elde edildiğini açıklamaktır.

Çözüm Adımları

Bu ifadeler cebirde çok kullanılan temel özdeşliklerdir. Gelin bu formüllerin nereden geldiğini inceleyelim:

1. Adım: Tam küp özdeşliğinden hareket etme
İki terimin toplamının küpü formülünü hatırlayalım:
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Bu ifadeyi düzenleyerek $a^3 + b^3$ ifadesini yalnız bırakmak istiyoruz:
$$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$

Eşitliğin sağındaki $3ab(a + b)$ terimini sol tarafa atarsak görseldeki ilk özdeşliği elde ederiz:
$$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$$

2. Adım: Ortak çarpan parantezine alma
Bulduğumuz bu ifadeyi $(a + b)$ ortak parantezine alarak çarpanlarına ayıralım:
$$a^3 + b^3 = (a + b) \cdot \left[ (a + b)^2 - 3ab \right]$$

Köşeli parantez içindeki ifadeyi açalım ve düzenleyelim:
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Bunu yerine koyduğumuzda:
$$a^2 + 2ab + b^2 - 3ab = a^2 - ab + b^2$$

Sonuç olarak, görseldeki ikinci özdeşliğe ulaşırız:
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Cevap: Bu görsel bir soru değil, "iki küp toplamı" özdeşliğinin gösterimi ve ispat formülleridir.