Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Görseldeki soruyu dikkatlice inceledik. Şimdi adım adım çözelim:

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 3. soruda verilenler:

• Tanım kümesi: $A = \{-1, 0, 1\}$
• $f$ ve $g$ fonksiyonları $A$ kümesinde tanımlıdır.
• $f - 2g = \{(-1, 2), (0, 2), (1, -2)\}$
• $f + g = \{(-1, -1), (0, 2), (1, 1)\}$

İstenen ise öncüllerden hangilerinin doğru olduğudur:

• I. $f$ çift fonksiyondur.
• II. $f \cdot g$ nin görüntü kümesindeki elemanların toplamı sıfırdır.
• III. $g$ sabit fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

Adım 1: Fonksiyon Değerlerini Bulma

Tanım kümemiz $A = \{-1, 0, 1\}$ olduğuna göre, her bir eleman için verilen fonksiyon denklemlerini alt alta yazıp $f(x)$ ve $g(x)$ değerlerini bulalım.

1. $x = -1$ için:

• $(f - 2g)(-1) = f(-1) - 2g(-1) = 2$
• $(f + g)(-1) = f(-1) + g(-1) = -1$

Bu iki denklemi taraf tarafa çözelim:
Alt alta çıkarma veya yok etme metodu uygulayalım:
$$(f(-1) - 2g(-1)) - (f(-1) + g(-1)) = 2 - (-1)$$
$$-3g(-1) = 3 \implies g(-1) = -1$$

Bunu yerine koyarsak:
$$f(-1) + (-1) = -1 \implies f(-1) = 0$$

1. $x = 0$ için:

• $(f - 2g)(0) = f(0) - 2g(0) = 2$
• $(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 2$

Taraf tarafa çıkaralım:
$$(f(0) - 2g(0)) - (f(0) + g(0)) = 2 - 2$$
$$-3g(0) = 0 \implies g(0) = 0$$

Bunu yerine koyarsak:
$$f(0) + 0 = 2 \implies f(0) = 2$$

1. $x = 1$ için:

• $(f - 2g)(1) = f(1) - 2g(1) = -2$
• $(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 1$

Taraf tarafa çıkaralım:
$$(f(1) - 2g(1)) - (f(1) + g(1)) = -2 - 1$$
$$-3g(1) = -3 \implies g(1) = 1$$

Bunu yerine koyarsak:
$$f(1) + 1 = 1 \implies f(1) = 0$$

Özetle fonksiyonlarımızın elemanları şu şekildedir:

• $f = \{(-1, 0), (0, 2), (1, 0)\}$
• $g = \{(-1, -1), (0, 0), (1, 1)\}$

Adım 2: Öncüleri İnceleme

• I. Öncül ($f$ çift fonksiyondur):

Bir fonksiyonun çift olması için $\forall x \in A$ için $f(-x) = f(x)$ olmalıdır.

• $f(-1) = 0$ ve $f(1) = 0 \implies f(-1) = f(1)$
• $f(0) = 2$

Tanım kümesindeki her eleman için $f(-x) = f(x)$ sağlandığından $f$ çift fonksiyondur. (I. Öncül doğru)

• II. Öncül ($f \cdot g$ nin görüntü kümesindeki elemanların toplamı sıfırdır):

$f \cdot g$ fonksiyonunun değerlerini bulalım:

• $(f \cdot g)(-1) = f(-1) \cdot g(-1) = 0 \cdot (-1) = 0$
• $(f \cdot g)(0) = f(0) \cdot g(0) = 2 \cdot 0 = 0$
• $(f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = 0 \cdot 1 = 0$

$f \cdot g$ nin görüntü kümesi sadece $\{0\}$ elemanından oluşur. Bu kümedeki elemanların toplamı $0$'dır. (II. Öncül doğru)

• III. Öncül ($g$ sabit fonksiyondur):

Sabit fonksiyonun tanımı, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesinde tek bir sayıya eşlemesidir. Ancak yukarıda bulduğumuz üzere:

• $g(-1) = -1$
• $g(0) = 0$
• $g(1) = 1$

Değerler birbirinden farklıdır, bu yüzden $g$ sabit fonksiyon değildir. (III. Öncül yanlış)

Cevabımız I ve II olmalıdır. Şıklara baktığımızda D seçeneğinde "I ve II" yer almaktadır.

Cevap: D) I ve II