Görsel soru

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 4 numaralı soru incelendiğinde verilenler ve istenenler şunlardır:

• Uygun koşullarda tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için:

$$f(x) = \frac{1}{3}x - 2$$
$$(g \circ f)(x) = \frac{x - 3}{2x + 3}$$

• $g$ fonksiyonunun tanım kümesi $\mathbb{R} - \{a\}$ ve değer kümesi $\mathbb{R} - \{b\}$'dir ($g$ bire bir ve örten bir fonksiyondır).
• İstenen: $a + b$ toplamının kaç olduğu.

Çözüm Adımları

Adım 1: $g(x)$ fonksiyonunu bulmak

Bileşke fonksiyon tanımına göre:
$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{x - 3}{2x + 3}$$

$f(x)$ fonksiyonunun tersini ($f^{-1}(x)$) bulalım:
$$y = \frac{1}{3}x - 2 \implies y + 2 = \frac{1}{3}x \implies x = 3(y + 2) = 3y + 6$$
Buradan ters fonksiyon:
$$f^{-1}(x) = 3x + 6$$

Her iki tarafa soldan $f^{-1}$ uygulayarak $g(x)$'i elde edebiliriz ya da $f(x) = t$ dönüşümü yapabiliriz:
$f(x) = t$ denilirse $x = 3t + 6$ olur. Bunu bileşke denkleminde yerine yazalım:
$$g(t) = \frac{(3t + 6) - 3}{2(3t + 6) + 3} = \frac{3t + 3}{6t + 12 + 3} = \frac{3t + 3}{6t + 15}$$

Pay ve paydayı $3$ sadeleştirirsek:
$$g(t) = \frac{t + 1}{2t + 5}$$

Değişkeni $x$ yaparsak:
$$g(x) = \frac{x + 1}{2x + 5}$$

Adım 2: $a$ değerini (Tanım kümesinin dışındaki elemanı) bulmak

$g(x)$ rasyonel bir fonksiyon olduğundan, paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılmalıdır:
$$2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$$
Demek ki tanım kümesi $\mathbb{R} - \left\{-\frac{5}{2}\right\}$ şeklindedir. Buradan:
$$a = -\frac{5}{2}$$

Adım 3: $b$ değerini (Değer kümesinin dışındaki elemanı - Görüntü kümesini) bulmak

Bire bir ve örten bir fonksiyonun değer kümesinden çıkarılan eleman ($b$), fonksiyonun tersinin tanım olamadığı (tanımsız olduğu) değerdir veya rasyonel fonksiyonlarda $x$'in katsayılarının oranına eşittir:
$$g(x) = \frac{1x + 1}{2x + 5}$$
$$b = \frac{\text{paydaki } x\text{'in katsayısı}}{\text{paydadaki } x\text{'in katsayısı}} = \frac{1}{2}$$
Demek ki:
$$b = \frac{1}{2}$$

Adım 4: $a + b$ toplamını hesaplamak

Bulduğumuz $a$ ve $b$ değerlerini toplayalım:
$$a + b = -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Bu sonuç C seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap: C) -2