Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve görseli inceleyerek çözüm adımlarını aşağıda hazırladım.

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 4. soruda verilenler ve istenenler şunlardır:

• $A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesi verilmiştir.
• $f: A \to A$ ve $g: A \to A$ fonksiyonları bire bir fonksiyonlardır. (Sonlu ve aynı elemanlı kümeler arasında tanımlı fonksiyonlarda, bir fonksiyon bire bir ise aynı zamanda örten; örten ise aynı zamanda bire birdir.)
• İncelememiz istenen önermeler:
• I. $(f \circ g)$ bire bir fonksiyondur.
• II. $f$ örten fonksiyondur.
• III. $(g \circ f)$ örten fonksiyondur.
• İstenen: Bu ifadelerden hangilerinin doğru olduğunu bulmak.

Adım Adım Çözüm

1. Fonksiyonların Tanım ve Değer Kümesi Özellikleri:

$A$ kümesi sonlu bir kümedir ve eleman sayısı $s(A) = 4$'tür. $f$ ve $g$ fonksiyonları $A$ kümesinden $A$ kümesine tanımlanmıştır.
Sonlu kümelerde bir fonksiyon bire bir ise örten, örten ise bire birdir. Dolayısıyla $f$ ve $g$ fonksiyonları hem bire bir hem de örten fonksiyonlardır.

1. I. Öncülün İncelenmesi ($(f \circ g)$ bire bir fonksiyondur):

• $g$ fonksiyonu bire birdir: $g(x_1) = g(x_2) \implies x_1 = x_2$
• $f$ fonksiyonu bire birdir: $f(y_1) = f(y_2) \implies y_1 = y_2$
• Bileşke fonksiyonun bire bir olup olmadığını kontrol edelim:

$$(f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2)$$
$$f(g(x_1)) = f(g(x_2))$$
$f$ fonksiyonu bire bir olduğundan, içteki ifadeler birbirine eşit olmalıdır:
$$g(x_1) = g(x_2)$$
Benzer şekilde $g$ fonksiyonu da bire bir olduğundan:
$$x_1 = x_2$$
Bu sonuç, $(f \circ g)$ bileşke fonksiyonunun da bire bir olduğunu gösterir. I. öncül doğrudur.

1. II. Öncülün İncelenmesi ($f$ örten fonksiyondur):

• Soruda $f: A \to A$ fonksiyonunun bire bir olduğu açıkça belirtilmiştir.
• Sonlu bir kümeden (aynı eleman sayısına sahip) yine aynı kümeye tanımlı bir fonksiyon bire bir ise kesinlikle örtendir. Bu nedenle $f$ fonksiyonu örten bir fonksiyondur. II. öncül doğrudur.

1. III. Öncülün İncelenmesi ($(g \circ f)$ örten fonksiyondur):

• $f$ ve $g$ fonksiyonları $A \to A$ tanımlı bire bir ve örten fonksiyonlardır.
• İki örten fonksiyonun bileşkesi de örtendir. Bunu görelim:

Her $z \in A$ için $g$ örten olduğundan $g(y) = z olacak şekilde en az bir $y \in A$ vardır.
Benzer şekilde $f$ örten olduğundan $f(x) = y$ olacak şekilde en az bir $x \in A$ vardır.
O halde her $z \in A$ için $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z$ olacak şekilde bir $x \in A$ bulunur. Bu da $(g \circ f)$ fonksiyonunun örten olduğunu kanıtlar. III. öncül doğrudur.

Tüm öncüller (I, II ve III) doğrudur.

Cevap: E) I, II ve III