Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve görseli dikkatlice inceledim. Şimdi adım adım çözüme geçelim.

Verilenler ve İstenen

• Tanım kümeleri $[-2, 3]$ kapalı aralığı olan $f$ ve $g$ fonksiyonları verilmiştir:
• $f(x) = x^2$
• $g(x) = 2x$
• $h(x) = (f + g)(x)$ olmak üzere, $h(x)$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[m, n]$ kapalı aralığıdır.
• İstenen: $m + n$ toplamının değeri kaçtır?

Adım Adım Çözüm

1. $h(x)$ Fonksiyonunu Elde Etme:

İki fonksiyonun toplamı tanım kümesindeki her $x$ değeri için şu şekilde tanımlanır:
$$h(x) = f(x) + g(x)$$
Verilen fonksiyon kurallarını yerine yazalım:
$$h(x) = x^2 + 2x$$

1. $h(x)$ Fonksiyonunun Görüntü Kümesini Bulma:

$h(x)$ bir ikinci dereceden (parabolik) fonksiyondur. İfadede tam kareye tamamlama yöntemi veya türev yardımıyla bu fonksiyonun tepe noktasını (en küçük değerini) bulabiliriz:
$$h(x) = x^2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)^2 - 1$$

• Bu parabolün kollar yukarı doğrudur, bu yüzden en küçük değerini tepe noktasında ($x = -1$) alır.
• Tanım kümemiz $[-2, 3]$ kapalı aralığıdır. Şimdi bu aralığın uç noktalarında ve tepe noktasında $h(x)$'in aldığı değerleri hesaplayalım:

• Tepe noktası tanım kümesinin içindedir ($x = -1 \in [-2, 3]$):

$$h(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$$

• Uç noktalar için değerler:
• $x = -2$ için:

$$h(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$$

• $x = 3$ için:

$$h(3) = (3)^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15$$

1. Görüntü Kümesini Belirleme:

Bulduğumuz değerler $\{-1, 0, 15\}$ şeklindedir. Fonksiyon sürekli olduğundan, bu aralıktaki en küçük ve en büyük değer görüntü kümesinin sınırlarını belirler:

• En küçük değer ($m$): $-1$
• En büyük değer ($n$): $15$

Buna göre görüntü kümesi $[m, n] = [-1, 15]$ olur. Yani $m = -1$ ve $n = 15$'tir.

1. İstenen Toplamı Hesaplama:

$$m + n = -1 + 15 = 14$$

Cevap: D (14)