Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır:

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 1 numaralı soruda verilenler:

• $f$ ve $g$ fonksiyonları gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, bire bir ve örten fonksiyonlardır.
• $f(x) = 2x - 3$
• $(f \circ g)(x) = 3x - 1$

İstenen:

• $(g \circ f)^{-1}(4)$ değerinin kaç olduğunun bulunması.

Adım Adım Çözüm

1. Adım: $g(x)$ fonksiyonunu bulmak

Bileşke fonksiyon tanımından hareketle $(f \circ g)(x)$ ifadesini yazalım:
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3x - 1$$

$f(x) fonksiyonunun kuralı $f(x) = 2x - 3$ olarak verilmiştir. Buna göre $f(g(x))$ ifadesi:
$$f(g(x)) = 2 \cdot g(x) - 3$$

Şimdi bu ifadeyi soruda verilen bileşke fonksiyon kuralına eşitleyelim:
$$2 \cdot g(x) - 3 = 3x - 1$$

Denklemi $g(x)$ yalnız kalacak şekilde çözelim:
$$2 \cdot g(x) = 3x - 1 + 3$$
$$2 \cdot g(x) = 3x + 2$$
$$g(x) = \frac{3x + 2}{2}$$

2. Adım: $(g \circ f)^{-1}(4)$ ifadesini düzenlemek

İstenen ifade $(g \circ f)^{-1}(4)$ değeridir. Bileşkenin tersi kuralına göre:
$$(g \circ f)^{-1}(4) = (f^{-1} \circ g^{-1})(4) = f^{-1}(g^{-1}(4))$$

Öncelikle $g^{-1}(4)$ değerini bulmamız gerekir. Bunun için $g(x) = y$ ise $g^{-1}(y) = x$ kuralını kullanabiliriz ya da doğrudan $g(x) = 4$ denklemini çözebiliriz:
$$\frac{3x + 2}{2} = 4$$
$$3x + 2 = 8$$
$$3x = 6$$
$$x = 2$$

Bu durumda $g(2) = 4$ olduğundan, ters fonksiyon tanımı gereği:
$$g^{-1}(4) = 2$$ olur.

3. Adım: $f^{-1}$ değerini hesaplamak

Şimdi bulduğumuz bu değeri $f^{-1}$ fonksiyonunda yerine koymalıyız, yani $f^{-1}(2)$ değerini hesaplayacağız.

$f(x) = 2x - 3$ fonksiyonunun tersi ($f^{-1}(x)$) şu şekildedir:
$$y = 2x - 3 \implies y + 3 = 2x \implies x = \frac{y + 3}{2}$$
Yani,
$$f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}$$

Şimdi $x = 2$ için $f^{-1}(2)$ değerini hesaplayalım:
$$f^{-1}(2) = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}$$

Cevap: B) $\frac{5}{2}$