Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve eklenen görseli dikkatlice inceledim. Şimdi çözümün üzerinden adım adım geçelim.

Verilenler ve İstenen

• Verilenler:
• Birim çember üzerinde bir $x$ açısı gösterilmiştir.
• $y = 1$ doğrusu verilmiştir.
• $y = 1$ doğrusu ile kırmızı renkli doğru parçası birbirine paraleldir.
• Görsel üzerinde $A(\cos x, \sin x)$ noktası ve çeşitli trigonometrik uzunluklar işaretlenmiştir.
• İstenen:
• Mavi renkli doğru parçasının uzunluğunun, kırmızı renkli doğru parçasının uzunluğundan kaç birim fazla olduğu (yani: $\text{Mavi Uzunluk} - \text{Kırmızı Uzunluk}$).

Adım Adım Çözüm

1. Açının ve Noktanın Konumu:

• Birim çember üzerindeki açı $x$, ikinci bölgede yer almaktadır ($x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$). Bu bölgede $\cos x < 0$ ve $\sin x > 0$ olur.
• Kırmızı renkli doğru parçasının konumu incelendiğinde, $A(\cos x, \sin x)$ noktasından geçen ve $y = 1$ doğrusuna paralel olan doğrudur. Kırmızı doğru parçasının uzunluğu, yatay eksendeki uzunluk göz önüne alındığında $|\cos x|$ kadardır; ancak koordinat olarak $\cos x$ negatif olduğundan uzunluk pozitif olarak $-\cos x$ şeklinde ifade edilir.

1. Mavi Renkli Doğru Parçasının İncelenmesi:

• Mavi renkli doğru parçası, $y = 1$ doğrusu üzerinde veya kotanjant ekseni ile ilişkili bir uzunluk belirtmektedir.
• Trigonometrik tanım gereği, birim çemberde $x$ açısının kotanjantı $\cot x$ olarak bilinir. İkinci bölgede $\cot x$ negatiftir.
• Görsel üzerindeki notlarda da görüleceği üzere, mavi çizginin belirttiği uzunluk mutlak değerce $|\cot x| = -\cot x$ kadardır.

1. Uzunlukların Farkı:

• Soru bizden mavi renkli doğru parçasının uzunluğunun kırmızı renkli doğru parçasının uzunluğundan kaç birim fazla olduğunu istemektedir.
• Mavi parçanın uzunluğu: $-\cot x$
• Kırmızı parçanın uzunluğu: $-\cos x$
• Aralarındaki fark:

$$\text{Fark} = (-\cot x) - (-\cos x) = -\cot x + \cos x = \cos x - \cot x$$

Cevap

A) $\cos x - \cot x$