TYT Matematik

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır:

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 36 numaralı soruda $a$ ve $b$ gerçel sayıları için şu iki oran eşitliği verilmiştir:

1. $\frac{a + 5}{b + 3} = \frac{3}{5}$
2. $\frac{a - 3}{b - 5} = \frac{5}{3}$

İstenen ise $\frac{a}{b}$ oranının kaç olduğudur.

Çözüm Adımları

Adım 1: Birinci denklemi düzenleyelim.
Verilen ilk oran eşitliğinde içler dışlar çarpımı yapalım:
$$\frac{a + 5}{b + 3} = \frac{3}{5}$$
$$5(a + 5) = 3(b + 3)$$
$$5a + 25 = 3b + 9$$

Bu ifadeyi düzenleyerek $5a - 3b$ değerini yalnız bırakalım:
$$5a - 3b = 9 - 25$$
$$5a - 3b = -16 \quad \text{--- (I. Denklem)}$$

Adım 2: İkinci denklemi düzenleyelim.
Verilen ikinci oran eşitliğinde de içler dışlar çarpımı yapalım:
$$\frac{a - 3}{b - 5} = \frac{5}{3}$$
$$3(a - 3) = 5(b - 5)$$
$$3a - 9 = 5b - 25$$

Bu ifadeyi de düzenleyelim:
$$3a - 5b = -25 + 9$$
$$3a - 5b = -16 \quad \text{--- (II. Denklem)}$$

Adım 3: $a$ ve $b$'yi bulmak için sistemi çözelim.
Elde ettiğimiz iki denklemi alt alta yazalım:

1. $5a - 3b = -16$
2. $3a - 5b = -16$

Her iki denklemin de sağ tarafı $-16$ olduğundan, bu ifadeleri birbirine eşitleyebiliriz:
$$5a - 3b = 3a - 5b$$

Aynı terimleri bir tarafta toplayalım:
$$5a - 3a = 3b - 5b$$
$$2a = -2b$$

Her iki tarafı $2$'ye bölelim:
$$a = -b$$

Adım 4: İstenen oranı hesaplayalım.
Bulduğumuz $a = -b$ bağıntısını $\frac{a}{b}$ oranında yerine koyalım:
$$\frac{a}{b} = \frac{-b}{b} = -1$$