Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Gönderdiğin görseldeki soruyu dikkatlice inceledik. Şimdi adım adım çözüme geçelim.

Verilenler ve İstenen

Görselde verilen 12 numaralı sorunun metni ve grafiği şu şekildedir:

• $P(x)$, üçüncü dereceden bir polinom fonksiyondur ve en büyük dereceli teriminin katsayısı $1$'dir. Yani $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ şeklindedir.
• Grafiğe göre, $P(x)$ polinomunun $y$ eksenini kestiği nokta $(0, 12)$ noktasıdır; yani $P(0) = 12$'dir.
• Grafikte $x$ eksenini kestiği noktalardan biri $2$ olarak görünmektedir (dik koordinat sisteminde $2$ birimlik yatay eksendeki kesişim net olarak belirtilmiştir).
• Polinomun sıfırları (kökleri) birer tam sayıdır.
• $P(x)$ polinomunun $(x - 4)$ ile bölümünden kalan $12$'dir (yani $P(4) = 12$).
• Bizden istenen, $P(x - 3)$ polinomunun sabit terimidir. (Sabit terimi bulmak için $x = 0$ yazılır, dolayısıyla bizden $P(0 - 3) = P(-3)$ değeri istenmektedir.)

Çözüm Adımları

1. Adım: Polinomun Genel Modelini Oluşturma

Üçüncü dereceden ve başkatsayısı $1$ olan $P(x)$ polinomunun kökleri birer tam sayı olsun ve bu kökler $x_1, x_2, x_3$ olsun. Bu durumda polinomu şu şekilde ifade edebiliriz:
$$P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$$

Grafikten $x = 2$ noktasının polinomun bir kökü (sıfırı) olduğunu görüyoruz. O halde köklerden biri $2$'dir (örneğin $x_3 = 2$). Bunu yerine yazarsak:
$$P(x) = (x - 2)(x - x_1)(x - x_2)$$

2. Adım: Verilen Ek Bilgileri Kullanma

Soru metninde $P(4) = 12$ olduğu verilmiştir. $x = 4$ için polinomu yazalım:
$$P(4) = (4 - 2)(4 - x_1)(4 - x_2) = 12$$
$$2 \cdot (4 - x_1)(4 - x_2) = 12$$
$$(4 - x_1)(4 - x_2) = 6$$

Ayrıca grafikten $P(0) = 12$ olduğunu biliyoruz. $x = 0$ için:
$$P(0) = (0 - 2)(0 - x_1)(0 - x_2) = 12$$
$$-2 \cdot (-x_1) \cdot (-x_2) = 12$$
$$-2 \cdot x_1 x_2 = 12 \implies x_1 x_2 = -6$$

3. Adım: Köklerin Tam Sayı Olma Koşulu ile Kökleri Bulma

Elimizde iki denklem var:

1. $(4 - x_1)(4 - x_2) = 6$
2. $x_1 x_2 = -6$

$x_1$ ve $x_2$ birer tam sayı olduğundan, çarpımları $-6$ olan tam sayı ikililerini deneyebiliriz:

• Eğer $x_1 = 2$ ve $x_2 = -3$ olursa (ancak $x_3 = 2$ olduğunu zaten söylemiştik, köklerin farklı veya aynı olması durumuna dikkat edelim; fakat grafikte tepe noktası ve kolların simetrisine bakıldığında köklerin $-1$ ve $3$ veya benzeri değerler olduğunu görebiliriz):

Daha pratik bir yolla, $x_1$ ve $x_2$'nin alabileceği tam sayı değerleri için:
$(4 - x_1)(4 - x_2) = 16 - 4(x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 6$
$16 - 4(x_1 + x_2) + (-6) = 6$
$10 - 4(x_1 + x_2) = 6$
$4(x_1 + x_2) = 4 \implies x_1 + x_2 = 1$

Çarpımları $-6$ ve toplamları $1$ olan iki tam sayı arıyoruz:
Bu sayılar $3$ ve $-2$'dir (Çünkü $3 + (-2) = 1$ ve $3 \cdot (-2) = -6$).

4. Adım: Polinomu Tamamlama

Bulduğumuz kökler $x_1 = 3$, $x_2 = -2$ ve baştan bildiğimiz $x_3 = 2$'dir.
O halde $P(x)$ polinomu:
$$P(x) = (x - 2)(x - 3)(x - (-2))$$
$$P(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2)$$

5. Adım: İstenen Değeri Hesaplama

Soru bizden $P(x - 3)$ polinomunun sabit terimini, yani $P(-3)$ değerini istemektedir. $P(x)$ ifadesinde $x = -3$ yazalım:
$$P(-3) = (-3 - 2)(-3 - 3)(-3 + 2)$$
$$P(-3) = (-5) \cdot (-6) \cdot (-1)$$
$$P(-3) = 30 \cdot (-1) = -30$$

Cevap anahtarında (ve görselin üzerinde işaretli olan kırmızı karalamalarda da görüldüğü üzere) doğru seçenek C şıkkıdır.

Cevap: C) -30