Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanına hoş geldiniz! Görseldeki soruyu dikkatlice inceledik. Şimdi adım adım çözümümüzü gerçekleştirelim.

Verilenler ve İstenen

Görselde verilenler:

• $f(x) = m^{x+1} + m^{1-x}$ fonksiyonu tanımlanmıştır.
• Bu fonksiyonun en küçük değerinin $10$ olduğu belirtilmiştir.

İstenen:

• $m$ değerinin kaç olduğunu bulmak.

Adım Adım Çözüm

1. Fonksiyonu Düzenleme:

Verilen fonksiyonu üslü sayı kurallarını kullanarak daha sade bir biçimde yazalım:
$$f(x) = m \cdot m^x + \frac{m}{m^x}$$

2. Aritmetik - Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM):

$m > 0$ olmak üzere (fonksiyonun tabanı olduğundan pozitif olmalıdır), iki pozitif terimin toplamının en küçük değerini bulmak için AM-GM eşitsizliğinden yararlanabiliriz.

$a > 0$ ve $b > 0$ için:
$$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{a \cdot b}$$

Burada $a = m \cdot m^x$ ve $b = \frac{m}{m^x}$ olarak seçelim:
$$m \cdot m^x + \frac{m}{m^x} \ge 2 \cdot \sqrt{m \cdot m^x \cdot \frac{m}{m^x}}$$

3. İşlemleri Yapma:

Kök içindeki $m^x$ ifadeleri sadeleşir:
$$f(x) \ge 2 \cdot \sqrt{m \cdot m}$$
$$f(x) \ge 2 \cdot \sqrt{m^2}$$
$$f(x) \ge 2m$$

4. $m$ Değerini Bulma:

Soruda $f(x)$ fonksiyonunun en küçük değerinin $10$ olduğu verilmiştir. Bulduğumuz en küçük değer $2m$ olduğuna göre:
$$2m = 10$$
$$m = 5$$

Cevap: C) 5