Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır:

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 5 numaralı soru incelendiğinde:

• Verilen denklem:

$$3^{\frac{a+1}{a-2}} = 6$$

• İstenen: $a$ sayısından büyük en küçük tam sayı değerinin aşağıdakilerden hangisi olduğu.
• Seçenekler:
  • A) 5
  • B) 6
  • C) 7
  • D) 8
  • E) 9

Adım Adım Çözüm

1. Logaritma Dönüşümü Yapılması:

Üslü ifadeyi logaritmik biçime dönüştürelim:
$$3^{\frac{a+1}{a-2}} = 6 \implies \log_3(6) = \frac{a+1}{a-2}$$

2. Taban Değiştirme ve Düzenleme:

$\log_3(6)$ ifadesini parçalayalım:
$$\log_3(6) = \log_3(2 \cdot 3) = \log_3(2) + \log_3(3) = 1 + \log_3(2)$$

Şimdi denklemi tekrar yazalım:
$$1 + \log_3(2) = \frac{a+1}{a-2}$$

3. $a$ Değerinin Yalnız Bırakılması:

İçler dışlar çarpımı yapalım:
$$(1 + \log_3(2))(a - 2) = a + 1$$

Parantezi açalım:
$$a - 2 + a\log_3(2) - 2\log_3(2) = a + 1$$

Her iki taraftan $a$'yı sadeleştirelim:
$$-2 + a\log_3(2) - 2\log_3(2) = 1$$

$a$ içeren terimi yalnız bırakalım:
$$a\log_3(2) = 3 + 2\log_3(2)$$

$$a = \frac{3 + 2\log_3(2)}{\log_3(2)}$$

$$a = \frac{3}{\log_3(2)} + 2$$

Taban değiştirme kuralı gereği $\frac{1}{\log_3(2)} = \log_2(3)$ olduğundan:
$$a = 3\log_2(3) + 2$$

4. $a$ Sayısının Yaklaşık Değerinin Bulunması:
   • $\log_2(3)$ ifadesini inceleyelim:

$\log_2(2) = 1$ ve $\log_2(4) = 2$ olduğundan, $1 < \log_2(3) < 2$ aralığındadır. (Yaklaşık olarak $\log_2(3) \approx 1.58$'dir.)

• Bu değeri yerine koyalım:

$$a = 3 \cdot (\text{1 ile 2 arasında bir sayı}) + 2$$
$$3 \cdot 1 < 3\log_2(3) < 3 \cdot 2$$
$$3 < 3\log_2(3) < 6$$

Her tarafa 2 ekleyelim:
$$3 + 2 < 3\log_2(3) + 2 < 6 + 2$$
$$5 < a < 8$$

• Daha hassas bir tahmin için: $\log_2(3) \approx 1.58$ alırsak;

$$a \approx 3(1.58) + 2 = 4.74 + 2 = 6.74$$
elde edilir.

5. İstenen Tam Sayının Belirlenmesi:

$a \approx 6.74$ sayısı $6$ ile $7$ arasındadır ($6 < a < 7$).
$a$ sayısından büyük en küçük tam sayı, $6.74$'ten büyük olan en küçük tam sayı yani 7'dir.

Cevap: C) 7