Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır:

Verilenler ve İstenen

Görseldeki soruda:

• Orijinal eşitsizlik $x^2 - x - c \le 0$ şeklindedir (burada $c$ karalanmış sabit terimi temsil etmektedir).
• Öğrenci, soldan ilk iki terim arasındaki $-$ işaretini yanlışlıkla $+$ olarak görmüştür. Dolayısıyla öğrencinin çözdüğü eşitsizlik:

$$x^2 + x - c \le 0$$

• Bu eşitsizliği doğru çözen öğrencinin bulduğu çözüm kümesindeki en büyük iki tam sayının toplamı $5$ olarak verilmiştir.
• Bizden sorunun orijinal halinin doğru cevabı, yani orijinal eşitsizliğin çözüm kümesindeki en büyük iki tam sayının toplamı istenmektedir.

Adım Adım Çözüm

1. Adım: Öğrencinin Çözdüğü Eşitsizliğin İncelenmesi

Öğrencinin çözdüğü hatalı eşitsizlik:
$$x^2 + x - c \le 0$$

Bu ifadenin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun ($x_1 < x_2$). İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu yapıldığında, $\le 0$ eşitsizliğinin çözüm aralığı kökler arasındadır:
$$\text{Çözüm Aralığı} = [x_1, x_2]$$

2. Adım: $c$ Sabit Teriminin Bulunması

Soru metninde, bu aralıktaki en büyük iki tam sayının toplamının 5 olduğu bilgisi verilmiştir.
Çözüm aralığındaki en büyük tam sayı $x_2$'nin kendisi veya hemen altındaki bir tam sayı olmalıdır. En büyük iki tam sayının toplamı 5 ise, bu tam sayılar sırasıyla $x_2$ ve $x_2 - 1$ olmalıdır (çünkü bir aralıktaki en büyük iki tam sayı ardışık iki tam sayıdır).

O halde:
$$x_2 + (x_2 - 1) = 5$$
$$2x_2 - 1 = 5 \implies 2x_2 = 6 \implies x_2 = 3$$

En büyük tam sayı $x_2 = 3$ olduğuna göre, çözüm aralığı $[x_1, 3]$ şeklindedir. $3$ sayısı bu aralığın sağ uç noktası olduğundan, $x = 3$ değeri öğrencinin eşitsizliğini tam olarak sağlar (kök veya eşitsizliği sıfırlayan sınırdır):
$$(3)^2 + 3 - c = 0$$
$$9 + 3 - c = 0 \implies c = 12$$

3. Adım: Diğer Kökün Kontrol Edilmesi

$c = 12$ değerini öğrencinin eşitsizliğinde yerine yazalım:
$$x^2 + x - 12 \le 0$$
$$(x + 4)(x - 3) \le 0$$

Kökler $x_1 = -4$ ve $x_2 = 3$ bulunur.
Çözüm kümesi $[-4, 3]$ aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar:
$\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

Bu kümedeki en büyük iki tam sayı $3$ ve $2$ olup toplamları $3 + 2 = 5$'tir. Bu durum soruda verilen bilgiyle tam olarak uyuşmaktadır. Böylece karalanmış olan sabit terimin $c = 12$ olduğunu kesinleştirmiş olduk.

4. Adım: Orijinal Sorunun Çözülmesi

Orijinal eşitsizlikte sabit terim yerine yazılırsa:
$$x^2 - x - 12 \le 0$$

Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
$$(x - 4)(x + 3) \le 0$$

Orijinal eşitsizliğin kökleri:
$$x_1 = -3 \text{ ve } x_2 = 4$$

Orijinal eşitsizliğin çözüm kümesi $[-3, 4]$ aralığıdır.
Bu aralıktaki tam sayılar:
$\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

Bu çözüm kümesindeki en büyük iki tam sayı $4$ ve $3$'tür.
İstenen bu iki tam sayının toplamıdır:
$$4 + 3 = 7$$