Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak görselde yer alan 13. soruyu senin için dikkatle inceledim ve adım adım çözelim.

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 13 numaralı soruda bize şunlar verilmiştir:

• Merkezinde orijin ($O$) bulunan bir birim çember (yani yarıçapı $r = 1$ birimdir).
• $y = 1$ doğrusu verilmiştir (Bu doğru çembere $(0, 1)$ noktasında teğettir ve şekilde $B$ noktası bu teğet noktasını göstermektedir).
• Pozitif yönlü $m(\widehat{AOC}) = \alpha$ açısı verilmiştir. (Şekilde $C$ noktası çember üzerinde dördüncü veya üçüncü bölgeye doğru ilerleyen bir noktadır; açının başlangıç kenarı $OA$ ekseni, bitiş kenarı ise $OC$ doğrusudur).
• $P$ noktası, $y = 1$ doğrusu ile $OC$ doğrusunun uzantısının kesim noktasıdır ve $P, O, C$ noktaları doğrusaldır.
• $|BP| = 5$ birim olarak verilmiştir.

İstenen: $\cot\alpha$ değerinin kaçtır?

Adım Adım Çözüm

1. Çember ve Koordinat Düzlemi Üzerindeki Noktaların Belirlenmesi:
   • $O$ orijin olmak üzere, $A$ noktası $x$ ekseni üzerindedir ve koordinatları $(1, 0)$'dır.
   • $m(\widehat{AOC}) = \alpha$ açısı trigonometrik çember üzerinde pozitif yönlü (saat yönünün tersi) veya negatif yönlü olarak verilmiştir. Şekle dikkatlice baktığımızda, $C$ noktası dördüncü bölgededir ve $\alpha$ açısı $Ox$ ekseninden saat yönünde (veya negatif yönde) ölçülmüş ya da trigonometrik çemberdeki standart $\alpha$ açısı olarak konumlandırılmıştır.
   • Şekilde $C$ noktasının koordinatları birim çember üzerinde olduğundan $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ olarak ifade edilebilir. Ancak açı pozitif yönlü dendiği için standart konumda $C(\cos\alpha, \sin\alpha)$'dır. Şekilde $C$ dördüncü bölgede bulunduğundan $\sin\alpha < 0$ ve $\cos\alpha > 0$ olacaktır.
2. $P$ Noktasının Koordinatları ve $y = 1$ Doğrusu:
   • $P$ noktası $y = 1$ doğrusu üzerindedir. Bu nedenle $P$ noktasının $y$ koordinatı $1$'dir, yani $P(x_P, 1)$ şeklindedir.
   • $B$ noktası $y = 1$ doğrusunun $y$ eksenini kestiği nokta olduğundan koordinatları $(0, 1)$'dir.
   • Soruda $|BP| = 5$ birim olarak verilmiştir. $B$ ve $P$ noktaları $y = 1$ yatay doğrultusunda bulunduğundan, aralarındaki uzaklık $x$ koordinatlarının farkıdır:

$$|x_P - 0| = 5 \implies x_P = 5 \quad \text{veya} \quad x_P = -5$$

• Şekle baktığımızda $P$ noktası $y$ ekseninin sol tarafında (ikinci bölgede) yer almaktadır. Bu nedenle $x_P = -5$ olmalıdır. Dolayısıyla $P$ noktasının koordinatları $(-5, 1)$ olur.

3. Doğrusallık (Eğim) Özelliğinin Kullanılması:
   • $P, O$ ve $C$ noktaları doğrusal olduğundan, bu üç noktanın oluşturduğu doğrunun eğimi sabittir. Orijin $(0, 0)$ bu doğru üzerinde olduğu için, $P(-5, 1)$ noktasından geçen bu doğrunun denklemi veya eğimi şu şekilde yazılabilir:

$$\text{Eğim} = \frac{y_P - 0}{x_P - 0} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$$

• Aynı doğru üzerinde $C(\cos\alpha, \sin\alpha)$ noktası da bulunduğundan, $O$ ve $C$ noktalarından geçen doğrunun eğimi de aynı olmalıdır:

$$\frac{\sin\alpha - 0}{\cos\alpha - 0} = -\frac{1}{5}$$
$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{1}{5}$$

4. Trigonometrik Özdeşlikten Sonuca Ulaşılması:
   • Bildiğimiz gibi $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$'dır. Buradan:

$$\tan\alpha = -\frac{1}{5}$$

• Bizden istenen ise $\cot\alpha$ değeridir. Kotanjant, tanjantın çarpmaya göre tersidir:

$$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\frac{1}{5}} = -5$$

Cevap

C) $-\frac{1}{5}$ (Şıklara göre doğru seçenek A) -5'tir. Dikkat: $\tan\alpha = -\frac{1}{5}$ iken $\cot\alpha = -5$ olur. Seçenekleri kontrol ettiğimizde A şıkkında $-5$ yer almaktadır.)

Cevap: A) -5