Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu görsel üzerinden dikkatlice inceledik. Şimdi adım adım çözelim.

Verilenler ve İstenen

Görselde numaralandırılmış 4. soruyu ele alıyoruz.
Soruda bir bilgi kutusu verilmiştir:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} \quad (a, b \neq 0)$$

İstenen limit ifadesi:
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{1 - \cos^2(2x)}$$

Adım Adım Çözüm

1. Adım: Trigonometrik Özdeşlikleri Düzenleme
Paydadaki ifadeyi trigonometrik temel özdeşlik yardımıyla düzenleyelim. Bildiğimiz üzere:
$$1 - \cos^2(2x) = \sin^2(2x)$$

Buna göre limit ifadesi şu şekle dönüşür:
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{\sin^2(2x)}$$

2. Adım: Paydaki İfadeyi Dönüştürme
Kosinüsün yarım açı formülünü hatırlayalım:
$$\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \implies 1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$

Paydaki ifadeye $\alpha = 3x$ için bu formülü uygularsak:
$$1 - \cos(3x) = 2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)$$

Bu ifadeyi limitte yerine yazalım:
$$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sin^2(2x)}$$

3. Adım: Limiti Hesaplama
İfadeyi ortak kare şeklinde yazıp düzenleyelim:
$$\lim_{x \to 0} 2 \cdot \left( \frac{\sin\left(\frac{3x}{2}\right)}{\sin(2x)} \right)^2$$

Soruda verilen bilgi kutusundaki kuralı ($\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b}$) parantez içindeki limite uygulayabiliriz:

• Payın katsayısı: $a = \frac{3}{2}$
• Paydanın katsayısı: $b = 2$

Parantez içindeki limitin sonucu:
$$\frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$$

Şimdi bunu karesini alarak yerine koyalım:
$$2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 2 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{8}$$