Dikkat

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve eklenen görseli dikkatlice inceledim. Şimdi çözümün detaylarına geçelim.

Verilenler ve İstenen

Görselde verilen fonksiyonlar şunlardır:

1. $f: [-2, 4] \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2$
2. $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = |x - 1|$
3. $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = x^4 + 3$

İstenen: Bu fonksiyonlardan hangilerinin çift fonksiyon olduğunun bulunması.

Çift Fonksiyon Tanımı

Bir $f: A \to \mathbb{R}$ fonksiyonunun çift fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:

1. Tanım kümesi $A$, orijine göre simetrik olmalıdır (yani her $x \in A$ için $-x \in A$ olmalıdır).
2. Her $x \in A$ için $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlanmalıdır.

Şimdi verilen öncülleri sırasıyla bu tanıma göre inceleyelim:

Adım Adım Çözüm

1. Öncül: $f: [-2, 4] \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2$

• Tanım Kümesi Kontrolü: Tanım kümemiz $[-2, 4]$ aralığıdır. Orijine göre simetrik olabilmesi için her $x$ için $-x$'in de bu kümede olması gerekir. Ancak örneğin $x = 4$ için $-4$ bu aralıkta değildir ($[-2, 4]$ kümesi y eksenine göre simetrik değildir*).
• Dolayısıyla, $f(-x)$ hesaplanırken tanım kümesi dışına çıkılabilir veya çift fonksiyon tanımındaki simetri şartı sağlanamaz. Bu nedenle $f$ fonksiyonu çift fonksiyon değildir.

2. Öncül: $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = |x - 1|$

• Tanım Kümesi Kontrolü: Tanım kümesi $\mathbb{R}$'dir ve orijine göre simetriktir.
• Kural Kontrolü: $g(-x)$ değerini hesaplayalım:

$$g(-x) = |-x - 1| = |-(x + 1)| = |x + 1|$$
Burada $g(-x) \neq g(x)$ olduğu görülür (Örneğin $x = 2$ için $g(2) = |2-1| = 1$ iken, $g(-2) = |-2-1| = 3$ olup $1 \neq 3$'tür).

• Dolayısıyla $g$ fonksiyonu çift fonksiyon değildir.

3. Öncül: $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = x^4 + 3$

• Tanım Kümesi Kontrolü: Tanım kümesi $\mathbb{R}$'dir ve orijine göre simetriktir.
• Kural Kontrolü: $h(-x)$ değerini hesaplayalım:

$$h(-x) = (-x)^4 + 3 = x^4 + 3$$
Görüldüğü üzere $h(-x) = h(x)$ eşitliği her $x \in \mathbb{R}$ için sağlanmaktadır.

• Dolayısıyla $h$ fonksiyonu çift fonksiyondur.

Sonuç

Yalnızca III numaralı $h(x)$ fonksiyonu çift fonksiyon tanımını sağlamaktadır.

Cevap: C) Yalnız III