Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Görseldeki soruları inceledim. Çözümünü istediğin soru, görselin orta kısmında yer alan 2 numaralı polinom sorusudur.

Sorunun Verilenleri ve İsteneni

Verilenler:

• $P(x)$, $Q(x)$ ve $R(x)$ birer polinomdur.
• $(x - 2) \cdot P(x + 1) = 3 + (x - 1) \cdot Q(x + 2)$
• $(x + 2) \cdot R(x) = P(x - 2) + Q(x)$

İstenen:

• $R(x)$ polinomunun $(x - 4)$ ile bölümünden kalan kaçtır? (Yani $R(4)$ değeri kaçtır?)

Adım Adım Çözüm

1. Adım: İlk denklemden $P(2)$ değerini bulmak

Verilen birinci denklem:
$$(x - 2) \cdot P(x + 1) = 3 + (x - 1) \cdot Q(x + 2)$$

Bu denklemde $x = 2$ yazarak $Q(x+2)$'nin katsayısını sıfırlayalım ve $P(2)$'yi yalnız bırakalım:
$$(2 - 2) \cdot P(2 + 1) = 3 + (2 - 1) \cdot Q(2 + 2)$$
$$0 \cdot P(3) = 3 + 1 \cdot Q(4)$$
$$0 = 3 + Q(4) \implies Q(4) = -3$$

Şimdi aynı denklemde $P(2)$'yi elde etmek için $x = 1$ yazalım:
$$(1 - 2) \cdot P(1 + 1) = 3 + (1 - 1) \cdot Q(1 + 2)$$
$$(-1) \cdot P(2) = 3 + 0 \cdot Q(3)$$
$$-P(2) = 3 \implies P(2) = -3$$

2. Adım: İkinci denklemden $R(4)$ değerini bulmak

Verilen ikinci denklem:
$$(x + 2) \cdot R(x) = P(x - 2) + Q(x)$$

Bizden $R(4)$ isteniyor. Bu nedenle denklemde $x = 4$ yazalım:
$$(4 + 2) \cdot R(4) = P(4 - 2) + Q(4)$$
$$6 \cdot R(4) = P(2) + Q(4)$$

Yukarıda bulduğumuz $P(2) = -3$ ve $Q(4) = -3$ değerlerini bu denklemde yerine koyalım:
$$6 \cdot R(4) = (-3) + (-3)$$
$$6 \cdot R(4) = -6$$
$$R(4) = -1$$

Cevap: D (-1)