Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanı olarak hazırladığım çözüm aşağıdadır.

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (Birinci bölgede bir dar açı)
• $\frac{1 + \sin(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)} = \frac{9}{8}$

İstenen:

• $\sec\alpha \cdot \csc\alpha$ çarpımının değeri

Çözüm Adımları

Adım 1: Trigonometrik Özdeşliklerin Düzenlenmesi
Verilen denklemdeki pay ve paydayı temel yarım açı formülleriyle düzenleyelim:

• $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$
• $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ (Paydadaki $1$'i götürmek için bu formu seçelim)

Bu dönüşümleri ifadede yerine koyalım:
$$\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + (2\cos^2\alpha - 1)} = \frac{9}{8}$$

Paydadaki $+1$ ve $-1$ birbirini götürür:
$$\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{9}{8}$$

Adım 2: İfadenin Sadeleştirilmesi
Kesrin payını ayrı ayrı paydaya bölelim:
$$\frac{1}{2\cos^2\alpha} + \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{9}{8}$$

Sadeleştirmeleri yapalım:

• Birinci terim: $\frac{1}{2}\sec^2\alpha$
• İkinci terim: $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Böylece denklemimiz şu halini alır:
$$\frac{1}{2}\sec^2\alpha + \tan\alpha = \frac{9}{8}$$

Adım 3: Sekant ve Tanjant Arasındaki İlişkiyi Kurma
Trigonometrik özdeşliklerden $\sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha$ olduğunu biliyoruz. Bunu denklemde yerine yazalım:
$$\frac{1}{2}(1 + \tan^2\alpha) + \tan\alpha = \frac{9}{8}$$

Dağılma özelliğini uygulayalım:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tan^2\alpha + \tan\alpha = \frac{9}{8}$$

Denklemi 8 ile çarparak kesirli ifadelerden kurtulalım:
$$4 + 4\tan^2\alpha + 8\tan\alpha = 9$$

Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden denklem elde edelim:
$$4\tan^2\alpha + 8\tan\alpha - 5 = 0$$

Adım 4: Çarpanlarına Ayırma
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
$$(2\tan\alpha - 1)(2\tan\alpha + 5) = 0$$

Buradan kökler:

• $\tan\alpha = \frac{1}{2}$
• $\tan\alpha = -\frac{5}{2}$

Sorunun başında $\alpha$ açısının birinci bölgede ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) olduğu verilmiştir. Birinci bölgede tanjant pozitif olmalıdır. Bu nedenle:
$$\tan\alpha = \frac{1}{2}$$

Adım 5: İstenen Değerin Hesaplanması
İstenen ifade $\sec\alpha \cdot \csc\alpha$'dır. Bunları sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım:
$$\sec\alpha \cdot \csc\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} \cdot \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$$

$\tan\alpha = \frac{1}{2}$ değerini dik üçgen yardımıyla veya özdeşliklerle değerlendirelim:
Bir dik üçgende karşı kenar $1$, komşu kenar $2$ ise hipotenüs:
$$\text{Hipotenüs} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$

Bu durumda:

• $\sin\alpha = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
• $\cos\alpha = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Bu değerleri $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$ ifadesinde yerine yazalım:
$$\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2}$$