Görsel soru

YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanına hoş geldiniz! Görseldeki Örnek 16 başlıklı soruyu adım adım çözelim.

Verilenler ve İstenen

Görselde sol tarafta yer alan Örnek 16 sorusu şöyledir:
$$\left(\frac{4}{9}\right)^{x+1} < \left(\frac{3}{2}\right)^{x^2-3x}$$
eşitsizliğinin çözüm kümesinin bulunması istenmektedir.

Adım Adım Çözüm

1. Adım: Tabanları Benzer Hale Getirme

Üslü eşitsizlikleri çözebilmek için tabanların aynı (veya birbirinin kuvveti) olması gerekir.
Sol taraftaki taban $\frac{4}{9}$, sağ taraftaki taban ise $\frac{3}{2}$'dir.

$\frac{4}{9}$ ifadesini $\frac{3}{2}$ cinsinden yazalım:
$$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$$

Şimdi bu ifadeyi eşitsizlikte yerine koyalım:
$$\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\right)^{x+1} < \left(\frac{3}{2}\right)^{x^2-3x}$$

Üstün üssü kuralını uygulayarak sol tarafı düzenleyelim:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{-2(x+1)} < \left(\frac{3}{2}\right)^{x^2-3x}$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{-2x-2} < \left(\frac{3}{2}\right)^{x^2-3x}$$

2. Adım: Üstleri Karşılaştırma

Tabanımız olan $a = \frac{3}{2}$ sayısı $1$'den büyüktür ($a > 1$). Üslü eşitsizliklerde taban $1$'den büyük olduğunda, tabanlar atıldığında eşitsizlik yön değiştirmez:

$$-2x - 2 < x^2 - 3x$$

3. Adım: Eşitsizliği Çözme

Tüm terimleri eşitsizliğin bir tarafında (sağ tarafta) toplayalım:
$$0 < x^2 - 3x + 2x + 2$$
$$0 < x^2 - x + 2$$

Elde ettiğimiz ikinci dereceden ifadenin köklerini bulmak için delta ($\Delta$) incelemesi yapalım:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$$

$\Delta < 0$ olduğundan ve baş katsayı pozitif ($1 > 0$) olduğundan, bu ikinci dereceden ifade her gerçek sayı $x$ için daima pozitiftir. Yani $x^2 - x + 2 > 0$ eşitsizliği tüm gerçek sayılar için sağlanır.

Dolayısıyla, verilen eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri tüm reel sayılardır.

Cevap: $(-\infty, \infty)$ (Reel sayılar kümesi, $\mathbb{R}$)