Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Görseldeki soruyu dikkatlice inceledim ve çözümünü aşağıda adım adım hazırladım.

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• $f$ fonksiyonu doğrusal bir fonksiyondur. (Yani $f(x) = ax + b$ şeklindedir, burada $a \neq 0$ ve $a, b \in \mathbb{R}$'dir.)
• Her $x$ ve $y$ gerçel sayısı için aşağıdaki eşitlik sağlanmaktadır:

$$(f \circ f)(x + y) = 2 \cdot f(x) + f(2y)$$

İstenen:

• $f(3) - f(1)$ farkının değeri kaçtır?
• Seçenekler: A) 0, B) 2, C) 4, D) 6, E) 8

Adım Adım Çözüm

1. Adım: Doğrusal fonksiyonu tanımlamak
$f$ doğrusal bir fonksiyon olduğundan genel formunu yazalım:
$$f(x) = ax + b$$

Bu durumda bileşke fonksiyonu olan $(f \circ f)(x)$ ifadesini bulalım:
$$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b$$

Şimdi, bu ifadede $x$ yerine $(x + y)$ yazarak $(f \circ f)(x + y)$'yi elde edelim:
$$(f \circ f)(x + y) = a^2(x + y) + ab + b = a^2x + a^2y + ab + b$$

2. Adım: Eşitliğin sağ tarafını düzenlemek
Verilen eşitliğin sağ tarafı şu şekildedir:
$$2 \cdot f(x) + f(2y)$$

$f(x) = ax + b$ ve $f(2y) = a(2y) + b = 2ay + b$ değerlerini yerine koyalım:
$$2 \cdot (ax + b) + (2ay + b) = 2ax + 2b + 2ay + b = 2ax + 2ay + 3b$$

3. Adım: Katsayıları eşitlemek
Soru bize her $x$ ve $y$ gerçel sayısı için şu eşitliğin sağlandığını söylüyor:
$$(f \circ f)(x + y) = 2 \cdot f(x) + f(2y)$$

Yani bulduğumuz iki ifade her $x, y$ için birbirine özdeş olmalıdır:
$$a^2x + a^2y + ab + b = 2ax + 2ay + 3b$$

Bu eşitliğin her iki tarafındaki $x$'in katsayılarını, $y$'nin katsayılarını ve sabit terimleri birbirine eşitleyelim:

• $x$'in katsayıları:

$$a^2 = 2a \implies a^2 - 2a = 0 \implies a(a - 2) = 0$$
Buradan $a = 0$ veya $a = 2$ bulunur. Ancak $f$ doğrusal bir fonksiyon olduğundan $a \neq 0$ olmalıdır. Dolayısıyla $a = 2$'dir.

• Sabit terimler:

$$ab + b = 3b$$
$a = 2$ değerini yerine yazalım:
$$2b + b = 3b \implies 3b = 3b$$
Bu denklem $b$'nin herhangi bir gerçek sayı olabileceğini gösterir (genellikle $b=0$ seçilerek işlem basitleştirilebilir ancak sonuç değişmez). Kolaylık olması için $b = 0$ alalım, böylece fonksiyonumuz:
$$f(x) = 2x$$
olur. (Not: $b$ farklı bir değer alsaydı bile doğrusal fonksiyonun eğimi $a=2$ sayesinde $f(3) - f(1)$ farkı yine aynı çıkacaktı.)

4. Adım: İstenen değeri hesaplamak
$f(x) = 2x$ fonksiyonu için istenen değeri bulalım:

• $f(3) = 2 \cdot 3 = 6$
• $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Şimdi farkı hesaplayalım:
$$f(3) - f(1) = 6 - 2 = 4$$

Cevap

C) 4