Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Görselde yer alan 1 numaralı polinom sorusunu sizin için adım adım çözelim.

Verilenler ve İstenen

Görseldeki 1 numaralı soruda bir polinom verilmiştir:
$$P(x) = -2025x^{10 - a} + 9x^{a - 10} + 2026$$

Bu ifadenin bir polinom belirtmesi gerekmektedir. Polinom olma şartından yola çıkarak öncülleri incelememiz ve hangi ifadelerin doğru olduğunu bulmamız istenmektedir.

Adım Adım Çözüm

1. Adım: Polinom olma şartını uygulama
Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin üslerinin doğal sayı ($\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$) olması gerekir.
Verilen ifadede $x$'in kuvvetleri $10 - a$ ve $a - 10$'dur. O halde:
$$10 - a \ge 0 \implies a \le 10$$
$$a - 10 \ge 0 \implies a \ge 10$$

Bu iki eşitsizliğin aynı anda sağlanabilmesi için $a$ tek bir değer alabilir:
$$a = 10$$

2. Adım: $P(x)$ polinomunu elde etme
Bulduğumuz $a = 10$ değerini polinomda yerine yazalım:
$$P(x) = -2025x^{10 - 10} + 9x^{10 - 10} + 2026$$
$$P(x) = -2025x^0 + 9x^0 + 2026$$
$$P(x) = -2025(1) + 9(1) + 2026$$
$$P(x) = -2025 + 9 + 2026$$
$$P(x) = 10$$

3. Adım: Öncüleri inceleme

• I. Sabit bir polinomdur: $P(x) = 10$ ifadesi $x$'e bağlı değildir ve her gerçek sayı için değeri 10'dur. Bu nedenle sabit polinomdur. (Doğru)
• II. Sabit terimi 10'dur: Sabit polinomlarda değişken bulunmadığından, ifadenin kendisi aynı zamanda sabit terimidir. Sabit terim $10$'dur. (Doğru)
• III. Katsayıları toplamı 10'dur: Sabit polinomların katsayılar toplamı, polinomun sabit terimine eşittir (veya $P(1)$ değeri ile bulunur). $P(1) = 10$ olduğundan katsayılar toplamı $10$'dur. (Doğru)

Tüm öncüller (I, II ve III) doğrudur.

Cevap: E) I, II ve III