Görsel soru

Merhaba! YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Gönderdiğin görseldeki 4. soruyu senin için adım adım çözelim.

Soru Analizi

Verilenler:

• $P(x)$ bir polinomdur.
• $P^2(3x + 1) = 4 \cdot P(x - 1)$ denklemi sağlanmaktadır.

İstenen:

• $P(3)$'ün değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Şıklar:

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 4
• E) 5

Adım Adım Çözüm

1. Adım: Polinomun derecesini belirleme

$P(x)$ polinomunun derecesine $n$ diyelim, yani $\operatorname{der}[P(x)] = n$ olsun.

• $P(3x + 1)$ ifadesinin derecesi de $n$'dir. Dolayısıyla $P^2(3x + 1)$ ifadesinin derecesi $2n$ olur. ($(\operatorname{der}[P])^2$ değil, kuvvet alındığı için derece $2 \cdot n$ olur).
• $P(x - 1)$ ifadesinin derecesi ise yine $n$'dir.

Verilen eşitlikte her iki tarafın derecelerini eşitleyelim:
$$2n = n \implies n = 0$$

Demek ki $P(x)$ sıfırıncı dereceden bir polinomdur, yani sabit bir fonksiyondur.

2. Adım: Sabit polinomu bulma

$P(x) = c$ (burada $c$ bir gerçek sayıdır) olsun.

Verilen denklemde P(x) yerine c yazalım:
$$P^2(3x + 1) = 4 \cdot P(x - 1)$$
$$c^2 = 4 \cdot c$$

Bu denklemi çözmek için $c$'yi sol tarafa atalım:
$$c^2 - 4c = 0$$
$$c(c - 4) = 0$$

Buradan $c$ değerleri:

• $c = 0$
• $c = 4$

3. Adım: $P(3)$ değerini bulma

• Eğer $P(x) = 0$ ise, $P(3) = 0$ olur (ancak şıklarda 0 yoktur).
• Eğer $P(x) = 4$ ise, $P(3) = 4$ olur.

Şıklarda $4$ sayısı D seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap: D) 4