Görsel soru

Merhaba! Ben YKS Soru Kulübü otomatik çözüm asistanıyım. Soruyu ve eklenen görseli dikkatlice inceledim. Gelin, soruyu adım adım çözelim.

Verilenler ve İstenen

Verilenler:

• Dik koordinat düzleminde $O$ merkezli, yarıçapı $1$ birim olan çeyrek çember verilmiştir.
• $C$ ve $D$ noktaları çember yayının üzerindedir.
• $OAD$ ve $OBC$ dik üçgenleri oluşturulmuştur.
• $m(\widehat{BOC}) = m(\widehat{DOF}) = \alpha$ açısı tanımlanmıştır (şekilde $F$ noktası y ekseni üzerindedir ve $m(\widehat{FOD}) = \alpha$ olduğu görülmektedir).
• Çember birim çember olduğundan, çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları açının trigonometrik oranlarını verir.

İstenen:

• Sarı boyalı bölgenin alanının ($OAD$ üçgeninin alanı) yeşil boyalı bölgenin alanına ($OBC$ üçgeninin alanı) oranı ($ \frac{\text{Alan}(OAD)}{\text{Alan}(OBC)} $) sorulmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1. Çember Üzerindeki Noktaların Koordinatlarının Belirlenmesi:
   • Birim çember üzerinde bir noktanın koordinatları $(\cos\theta, \sin\theta)$ şeklindedir.
   • $C$ noktası için: $x$ ekseni ile yaptığı açı $m(\widehat{BOC}) = \alpha$ olduğundan, $C$ noktasının koordinatları:

$$C = (\cos\alpha, \sin\alpha)$$
Bu durumda $OBC$ dik üçgeninin tabanı $OB = \cos\alpha$ ve yüksekliği $BC = \sin\alpha$ olur.

• $D$ noktası için: $y$ ekseni ile yaptığı açı $\alpha$ olarak verilmiştir. Dolayısıyla $D$ noktasının pozitif $x$ ekseniyle yaptığı açı $90^\circ - \alpha$ olur.

Bu durumda $D$ noktasının koordinatları:
$$D = (\cos(90^\circ - \alpha), \sin(90^\circ - \alpha)) = (\sin\alpha, \cos\alpha)$$
olur.

2. Üçgenlerin Alanlarının Hesaplanması:
   • Yeşil Boyalı Bölge ($\text{Alan}(OBC)$):

$OBC$ dik üçgeninde dik kenarlar $OB$ ve $BC$'dir.
$$\text{Alan}(OBC) = \frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot \text{Yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \cos\alpha \cdot \sin\alpha$$

• Sarı Boyalı Bölge ($\text{Alan}(OAD)$):

$OAD$ dik üçgeninde taban $OA$, yükseklik ise $AD$ uzunluğudur (veya koordinat düzlemindeki dik kenarlardır).
$D$ noktasının apsisi $x = \sin\alpha$ olduğundan $A$ noktasının koordinatı $(\sin\alpha, 0)$ olur. Yani $OA = \sin\alpha$ uzunluğundadır.
$D$ noktasının ordinatı ise $y = \cos\alpha$ olduğundan $AD$ dik kenarının uzunluğu $\cos\alpha$'dır.
$$\text{Alan}(OAD) = \frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot \text{Yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha$$

3. Alanların Oranlanması:

Sarı bölgenin alanının yeşil bölgenin alanına oranı:
$$\frac{\text{Alan}(OAD)}{\text{Alan}(OBC)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\frac{1}{2} \cdot \cos\alpha \cdot \sin\alpha} = 1$$